3F. 18 Calcule a relação entre as energias potenciais das interações de uma molécula de água com um íon \mathrm{Li}^{+}e com um íon \mathrm{K}^{+}. Tome o centro do dipolo estando em \mathrm{r}_{\text {fin }}+100 . \mathrm{pm}. Qual dos dois íons atrai mais fortemente a molécula de água?

Passo 1

O enunciado pede a razão entre as energias potenciais de interação de uma molécula de água com um íon \mathrm{Li}^{+} e com um íon \mathrm{K}^{+}. Foi dada a posição do centro do dipolo a uma distância igual a r_{\text{íon}}+100\\ \text{pm}í (ou seja, a distância entre o centro do íon e o centro do dipolo vale o raio iônico mais 100\\ \text{pm}). As perguntas são:
  • Calcular \dfrac{U_{\mathrm{Li}^+}}{U_{\mathrm{K}^+}};
  • Indicar qual íon atrai mais fortemente a molécula de água.
Informações relevantes que vou usar (tudo listado claramente):
  • Carga do íon monovalente: q=+e, com e=1,602\times10^{-19}\\ \text{C}.
  • Momento de dipolo da água (valor típico): p=1{,}85\\ \text{D} = 1{,}85\times3{,}33564\times10^{-30}\\ \text{C}\cdot\text{m}\approx6{,}17\times10^{-30}\\ \text{C}\cdot\text{m}.
  • Distância entre centro do íon e centro do dipolo: r=r_{\text{íon}}+100\\ \text{pm}í.
  • Vou usar raios iônicos típicos (valores experimentais dependem de coordenação; escolhi valores usuais para comparação):
    • raio iônico de \mathrm{Li}^{+}: r_{\mathrm{Li}^+}=60\\ \text{pm};
    • raio iônico de \mathrm{K}^{+}: r_{\mathrm{K}^+}=138\\ \text{pm}.
  • Permissividade do vácuo: \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F}\cdot\text{m}^{-1}.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula física que descreve a interação entre uma carga pontual q e um dipolo permanente \vec{p} fixo (orientado). Para um dipolo com orientação de modo que o ângulo entre \vec{p} e o vetor que liga o dipolo à carga seja \theta, a energia potencial é
U = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q\,p\cos\theta}{r^{2}}.
Explicando cada termo:
  • U é a energia potencial de interação (em joules). O sinal negativo indica atração quando q e \vec{p} estão alinhados com \cos\theta>0.
  • \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante elétrica na SI.
  • q é a carga do íon (aqui q=+e).
  • p é o módulo do momento de dipolo da água.
  • \theta é o ângulo entre a direção do dipolo e a linha que liga o dipolo à carga; para máxima atração tomamos \cos\theta=1 (a água orienta o oxigênio — polo negativo — para o cátion).
  • r é a distância entre o centro da carga e o centro do dipolo.
Observação didática rápida: como ambos os íons são monovalentes positivos e a água tem momento de dipolo fixo, ao comparar as duas energias com a mesma orientação ( \cos\theta=1) as constantes 1/(4\pi\varepsilon_0), q e p cancelam ao formar a razão, ficando a dependência apenas em r^{-2}.

Passo 3

Escrever a razão simbólica e simplificar:
\frac{U_{\mathrm{Li}^+}}{U_{\mathrm{K}^+}} = \frac{-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q\,p}{r_{\mathrm{Li}}^{2}}}{-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q\,p}{r_{\mathrm{K}}^{2}}} = \frac{r_{\mathrm{K}}^{2}}{r_{\mathrm{Li}}^{2}} = \left(\frac{r_{\mathrm{K}}}{r_{\mathrm{Li}}}\right)^{2},
onde r_{\mathrm{Li}}=r_{\mathrm{Li}^+}+100\\ \text{pm} e r_{\mathrm{K}}=r_{\mathrm{K}^+}+100\\ \text{pm}.
Agora substituo os raios iônicos escolhidos e converto para metros:
r_{\mathrm{Li}}=(60+100)\\ \text{pm}=160\\ \text{pm}=1{,}60\times10^{-10}\\ \text{m},
r_{\mathrm{K}}=(138+100)\\ \text{pm}=238\\ \text{pm}=2{,}38\times10^{-10}\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular numericamente a razão:
\frac{U_{\mathrm{Li}^+}}{U_{\mathrm{K}^+}}=\left(\frac{r_{\mathrm{K}}}{r_{\mathrm{Li}}}\right)^{2} =\left(\frac{2{,}38\times10^{-10}}{1{,}60\times10^{-10}}\right)^{2} =\left(1{,}4875\right)^{2}\approx2{,}21.
Interpretação: o sinal de U é negativo (atração), então em módulo
|U_{\mathrm{Li}^+}|\approx2{,}21\,|U_{\mathrm{K}^+}|.
Ou seja, a interação com \mathrm{Li}^{+} tem energia de atração aproximadamente 2{,}21 vezes maior (em módulo) do que com \mathrm{K}^{+}, para as distâncias assumidas.

Passo 5

Comentário didático e de sensibilidade: o resultado depende dos raios iônicos usados — valores reais variam com coordenação e ambiente químico. O ponto importante para a prova é entender a dependência U\propto -1/r^{2} (para dipolo permanente fixo) e que um íon menor (menor r_{\text{íon}}í) coloca o dipolo mais perto, aumentando fortemente a energia de interação. Assim, ceteris paribus, íons menores atraem mais fortemente moléculas polares.

Resposta

\dfrac{U_{\mathrm{Li}^+}}{U_{\mathrm{K}^+}}\approx2{,}21
\mathrm{Li}^{+} atrai mais fortemente a molécula de água (a energia de atração em módulo é cerca de 2{,}21 vezes maior).

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