[4.15] A Equação de Estado de um Sólido Monoatômico é dada por:
Aqui,
é o volume molar
,
é a Constante de Grüneisen, e
é a Energia Interna Molar
devido às vibrações da grade. Prove que:
Onde
é a Compressibilidade Isotérmica. Esta equação, conhecida como Relação de Grüneisen, desempenha um papel muito importante em Física do Estado Sólido.
Passo 1
Temos a equação de estado de um sólido monoatômico:
Aqui definimos o coeficiente de expansão térmica volumétrica , a compressibilidade isotérmica e o calor molar a volume constante . Nosso alvo é mostrar:
Passo 2
Derivando a equação de estado em relação a
mantendo
constante, só o termo
depende de
:
Logo
Como
, temos , e pela definição de
fica
Passo 3
Agora usamos a relação termodinâmica (uma forma de Maxwell) que liga
a
e
:
Substituindo em
dá
Passo 4
Isolando
nessa última expressão, obtemos a relação de Grüneisen desejada: