[4.15] A Equação de Estado de um Sólido Monoatômico é dada por:
P v+f(v)=Gamma u
Aqui, v é o volume molar v=Vn, Gamma é a Constante de Grüneisen, e u é a Energia Interna Molar Gamma=beta vkappa cV devido às vibrações da grade. Prove que:
kappa
Onde é a Compressibilidade Isotérmica. Esta equação, conhecida como Relação de Grüneisen, desempenha um papel muito importante em Física do Estado Sólido.

Passo 1

Temos a equação de estado de um sólido monoatômico:
P,v + f(v) = Gamma,u
Aqui definimos o coeficiente de expansão térmica volumétrica , a compressibilidade isotérmica e o calor molar a volume constante . Nosso alvo é mostrar:
beta=1vpderivvT|P

Passo 2

Derivando a equação de estado em relação a T mantendo v constante, só o termo P,v depende de T:
Logo
Como pderivTl(P,v + f(v)r)|v = pderivT(Gamma,u)|v , temos , e pela definição de v,pderivPT|v = Gamma,pderivuT|v + u,pderivGammaT|v fica

Passo 3

Agora usamos a relação termodinâmica (uma forma de Maxwell) que liga (partial P/partial T)v a beta e kappa:
Substituindo em pderivPT|v = betakappa
v,(partial P/partial T)v = Gamma,cV

Passo 4

Isolando Gamma nessa última expressão, obtemos a relação de Grüneisen desejada:

Resposta

Gamma = beta,vkappa,cV.

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