[4.14] Um mol de um Gás de Van der Waals obedece a equação de Van Der Waals:
E a Energia Interna Molar
é dada por:
Onde
são constantes, e
é o volume molar
.
Calcule as Capacidades Térmicas Molares
e
.
Calcule as Capacidades Térmicas Molares
Passo 1
O enunciado nos dá um mol de gás de Van der Waals com equação
e energia interna molar
$$
u=\lambda,T-\frac{a}{v}
c_V=\Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_v
c_P-c_V=-T;\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_v^2}{\bigl(\partial P/\partial v\bigr)_T}
$$
Passo 2
Em primeiro lugar, calculemos c_V usando a definição c_V=
. Como
mantendo v constante temos
Passo 3
Agora precisamos da pressão como função de v e T. Da equação de Van der Waals isolemos P:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Aplicando a relação
substituímos as derivadas:
Passo 6
Por fim, escrevemos c_P reunindo tudo. Uma forma simplificada é
ou, de modo equivalente,
Resposta
c_V=\lambda\
c_P=\lambda+\frac{TR2/(v-b)2}{RT/(v-b)2-2a/v3} \quad\bigl(=\lambda+\frac{R}{1-2a(v-b)2/(RT,v3)}\bigr)
c_P=\lambda+\frac{TR2/(v-b)2}{RT/(v-b)2-2a/v3} \quad\bigl(=\lambda+\frac{R}{1-2a(v-b)2/(RT,v3)}\bigr)