[4.14] Um mol de um Gás de Van der Waals obedece a equação de Van Der Waals:
(P+av^2)(b-v)=R T
E a Energia Interna Molar u=lambda T-av é dada por:
a, b, lambda, R
Onde v são constantes, e v=Vn é o volume molar cP.
Calcule as Capacidades Térmicas Molares cV e .

Passo 1

O enunciado nos dá um mol de gás de Van der Waals com equação
l(P+av^2r)(v - b)=R,T
e energia interna molar
$$
u=\lambda,T-\frac{a}{v} u=lambda,T-avéçõ
c_V=\Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_v
cV=l(partial upartial Tr)v çãâáâ
c_P-c_V=-T;\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_v^2}{\bigl(\partial P/\partial v\bigr)_T}
$$

Passo 2

Em primeiro lugar, calculemos c_V usando a definição c_V= (partial u/partial T)v. Como
u=lambda,T-av,
mantendo v constante temos
cV=l(partial upartial Tr)v=lambda

Passo 3

Agora precisamos da pressão como função de v e T. Da equação de Van der Waals isolemos P:
P=R,Tv-b-av^2

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
l(partial Ppartial Tr)v=Rv-b,
l(partial Ppartial vr)T=-R,T(v-b)^2+2av^3

Passo 5

Aplicando a relação
cP-cV=-T;l(partial P/partial Tr)v^2l(partial P/partial vr)T
substituímos as derivadas:
cP-lambda=-T;l(R/(v-b)r)^2-RT/(v-b)^2+2a/v^3 =TR^2/(v-b)^2RT/(v-b)^2-2a/v^3

Passo 6

Por fim, escrevemos c_P reunindo tudo. Uma forma simplificada é
cP=lambda+TR^2/(v-b)^2RT/(v-b)^2-2a/v^3
ou, de modo equivalente,
cP=lambda+R1-dfrac2a(v-b)^2RT,v^3

Resposta

c_V=\lambda\
c_P=\lambda+\frac{TR2/(v-b)2}{RT/(v-b)2-2a/v3} \quad\bigl(=\lambda+\frac{R}{1-2a(v-b)2/(RT,v3)}\bigr)

Exercícios relacionados