[4.18] Suponha que a condução de calor ocorra á taxa constante de q=d Qd t numa esfera oca com um raio interno r1 a uma temperatura T1 e com raio externo r2 a uma temperatura T2. Mostre que, para uma Condutividade Térmica constante K, a diferença de temperatura entre as duas superfícies é dada por:
T2-T1=d Qd t(14 K pi)(1r2-1r1)=q4 K pi(1r2-1r1)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma casca esférica, raio interno r1 a T1 e raio externo r2 a T2, com condução de calor estacionária a taxa constante q=dQdt e condutividade térmica K constante. Vamos usar a lei de Fourier em coordenadas esféricas e integrar para achar T2-T1.

Passo 2

Em condução radial estacionária a lei de Fourier diz que a taxa de calor que atravessa qualquer superfície esférica de raio r é
dQdt=-K,A(r),dTdr,
onde a área da esfera é A(r)=4pi r^2.

Passo 3

Isolando dT/dr e preparando a integração entre r1to r2 e T1to T2:
dTdr=-1K,4pi r^2dQdt,
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integralT1^T2dT=-14pi KdQdtintegralr1^r2drr^2

Passo 4

Calculando a integral de 1/r^2, que é -1/r, obtemos
T2-T1=-14pi KdQdtgl[-1rgr]r1^r2 = dQdt14pi Kl(1r2-1r1r)

Resposta

T2-T1=dfracq4pi Kl(dfrac1r2-dfrac1r1r)

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