[4.22] Uma lata metálica cilíndrica, escurecida do lado de fora, com 0,10 m de altura e 0,05, m de diâmetro contém ^4 He líquido na sua temperatura de ebulição normal de 4,22 K, em que seu Calor Latente de Vaporização é de 20,4 times 10^3 Jkg. A lata está completamente cercada por paredes mantidas à temperatura do Nitrogênio Líquido, que é de 77,35 K, e o espaço intermediário é continuamente evacuado a uma pressão muito baixa. Quanto hélio é perdido por hora?

Passo 1

O enunciado traz uma lata cilíndrica de altura 0,10 m e diâmetro 0,05 m, contendo hélio líquido a 4,22 K (temperatura de ebulição normal) com calor latente de vaporização L=20,4×10³ J/kg. A lata está escurecida (ε≈1) por fora e cercada por paredes a 77,35 K, o espaço intermediário é evacuado. Precisamos calcular quanto de hélio evapora por hora devido à radiação térmica, usando a lei de Stefan–Boltzmann e o calor latente.

Passo 2

Calcular a área externa total da lata, somando a área lateral e as duas tampas: Seja r=0,025 m e h=0,10 m. A área lateral é
[
A_{lat} = 2\pi r h = 2\pi(0,025)(0,10) = 0,01571\ \mathrm{m}^2
]
A área das tampas (duas faces circulares) é
[
A_{tampas} = 2\pi r^2 = 2\pi(0,025)^2 = 0,00393\ \mathrm{m}^2
]
Logo a área total é
[
A = A_{lat} + A_{tampas} = 0,01571 + 0,00393 = 0,01964\ \mathrm{m}^2
]

Passo 3

Aplicar a lei de Stefan–Boltzmann para radiação líquida:
[
\dot Q = A,\sigma,(T_{pared}^4 - T_{lata}^4)
] onde sigma = 5,67times10^-8,W/m^2K^4, Tpared=77,35,K, Tlata=4,22,K.
Calcular numericamente dot Q:
[
\dot Q = 0,01964\times5,67\times10{-8},\bigl(77,354 - 4,22^4\bigr) \approx0,0399,\mathrm{W}
]

Passo 4

Converter potência absorvida em taxa de evaporação de massa:
[
\dot m = \frac{\dot Q}{L} = \frac{0,0399}{20{,}4\times10^3} \approx1,96\times10^{-6},\mathrm{kg/s}
]
Calcular perda por hora multiplicando por 3600 s:
[
m_{hora} = \dot m \times3600 \approx1,96\times10^{-6}\times3600 =7,06\times10^{-3},\mathrm{kg/h}
]

Resposta

O hélio perdido é cerca de 7,06×10^{-3} kg por hora (aproximadamente 7,1 g/h).

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