[4.20] O ar acima de uma superfície de um lago de água doce está a temperatura TA, enquanto a água do lago está a temperatura de congelamento Ti. Considere TA. Após um tempo t, ocorre a formação de uma camada de gelo com espessura y. Assumindo que o calor, que é liberado quando a água do lago congela, flui através do gelo por condução e depois no ar por convecção natural, mostre que:
yh+y^22 K=(Ti-TArho l) t
Aqui, h é o Coeficiente de Convecção por unidade de área e é assumido constante enquanto o gelo se forma. K é a Condutividade Térmica do gelo, l é o Calor Latente de Fusão do gelo, e rho é a densidade do gelo. ( D I C A : A temperatura da superfície superior é variável. Assuma que o gelo tem uma espessura y e imagine que uma espessura infinitesimal d y se forma em um tempo infinitesimal d t ).

Passo 1

O exercício trata do crescimento de uma camada de gelo numa lagoa, envolvendo condução de calor através do gelo e convecção natural no ar; vamos usar o balanço de energia (latent heat) e as resistências térmicas em série (gelo + ar) para relacionar a espessura y com o tempo t.

Passo 2

Imagine que num instante t a espessura de gelo é y e, num tempo infinitesimal dt, forma-se uma camada dy. A energia liberada por essa camada é ρ·l·dy por unidade de área, onde ρ é a densidade do gelo e l o calor latente.

Passo 3

O fluxo de calor conduzido através do gelo, da interface água–gelo (T_i) até a superfície exterior (T_s), é dado por:
qcond = K,(Ti - Ts)y
com K condutividade térmica do gelo.

Passo 4

O calor que chega à superfície do gelo é transferido ao ar por convecção, ou seja:
qconv = h,(Ts - TA)
onde h é o coeficiente de convecção e T_A a temperatura do ar.

Passo 5

Como o fluxo é único em série, igualamos q_{cond}=q_{conv}=q, e obtemos
q = Ti - TAy/K + 1/h

Passo 6

Esse fluxo q deve suprir a energia de congelamento:
q = rho,l,dydt
Logo,
rho,l,dydt = Ti - TAy/K + 1/h

Passo 7

Separamos as variáveis e integramos de y=0 (t=0) a y(t):
integral0^yl(yK + 1hr)dy = Ti - TArho,lintegral0^t dt
A integral do lado esquerdo dá y^2/(2K) + y/h, e a do direito é (Ti - TA)t/(rho l).

Resposta

yh + y^22K = Ti - TArho,l,t

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