[4.20] O ar acima de uma superfície de um lago de água doce está a temperatura
, enquanto a água do lago está a temperatura de congelamento
. Considere
. Após um tempo
, ocorre a formação de uma camada de gelo com espessura
. Assumindo que o calor, que é liberado quando a água do lago congela, flui através do gelo por condução e depois no ar por convecção natural, mostre que:
Aqui,
é o Coeficiente de Convecção por unidade de área e é assumido constante enquanto o gelo se forma.
é a Condutividade Térmica do gelo,
é o Calor Latente de Fusão do gelo, e
é a densidade do gelo. (
: A temperatura da superfície superior é variável. Assuma que o gelo tem uma espessura
e imagine que uma espessura infinitesimal
se forma em um tempo infinitesimal
).
Passo 1
O exercício trata do crescimento de uma camada de gelo numa lagoa, envolvendo condução de calor através do gelo e convecção natural no ar; vamos usar o balanço de energia (latent heat) e as resistências térmicas em série (gelo + ar) para relacionar a espessura y com o tempo t.
Passo 2
Imagine que num instante t a espessura de gelo é y e, num tempo infinitesimal dt, forma-se uma camada dy. A energia liberada por essa camada é ρ·l·dy por unidade de área, onde ρ é a densidade do gelo e l o calor latente.
Passo 3
O fluxo de calor conduzido através do gelo, da interface água–gelo (T_i) até a superfície exterior (T_s), é dado por:
com K condutividade térmica do gelo.
Passo 4
O calor que chega à superfície do gelo é transferido ao ar por convecção, ou seja:
onde h é o coeficiente de convecção e T_A a temperatura do ar.
Passo 5
Como o fluxo é único em série, igualamos q_{cond}=q_{conv}=q, e obtemos
Passo 6
Esse fluxo q deve suprir a energia de congelamento:
Logo,
Passo 7
Separamos as variáveis e integramos de y=0 (t=0) a y(t):
A integral do lado esquerdo dá