( 40 % da nota) Uma massa m de um líquido a uma temperatura T1 é misturada com uma massa 3 m do mesmo líquido a uma temperatura T2. O sistema está termicamente isolado. Mostre que a variação de entropia do universo é
4 m cP ln tau+34 tau^1 / 4
onde tau=T1 / T2.

Passo 1

O problema trata do conteúdo de Termodinâmica, mais precisamente da variação de entropia ao se misturar termicamente um líquido consigo mesmo em dois tanques isolados. Temos duas porções do mesmo líquido, uma de massa m à temperatura T1 e outra de massa 3m à temperatura T2. O sistema é termicamente isolado, logo não há troca de calor com o ambiente, e após a mistura atinge uma temperatura final única Tf. Vamos usar conservação de energia (primeira lei) para determinar Tf e depois calcular a variação total de entropia como
De<a S = De<a S1 + De<a S2
onde De<a Si é a variação de entropia de cada porção ao passar de sua temperatura inicial até Tf.

Passo 2

Conservação de energia (supondo calor específico constante cP e sem variação de energia cinética ou potencial):
m,cP,T1 ;+; 3m,cP,T2 ;=; (m+3m),cP,Tf
Dividindo por 4m,cP, obtemos
Tf ;=;T1 + 3T24
Definindo tau = T1/T2, escreve-se
Tf = T2,tau + 34

Passo 3

Agora calculamos a variação de entropia de cada porção supondo processo reversível entre a temperatura inicial e Tf:
De<a S1 = m,cP,lnTfT1, De<a S2 = 3m,cP,lnTfT2
Substituindo Tf = T2(tau+3)/4 e T1=tau T2, fica
De<a S1 = m,cP,lnl(T2(tau+3)/4tau T2r) = m,cP,lntau+34tau,
De<a S2 = 3m,cP,lnl(T2(tau+3)/4T2r) = 3m,cP,lntau+34

Passo 4

Somando as duas variações de entropia:
De<a S = m,cP,lntau+34tau +3m,cP,lntau+34
Usando a propriedade de logaritmos ln a + 3ln b = lnl(a,b^3r), obtemos
De<a S = m,cP,ln!l(tau+34tau,(tau+3)^34^3r) = m,cP,ln(tau+3)^44^4,tau =4,m,cP,lntau+34,tau^1/4

Resposta

boxedDe<a S ;=;4,m,cP,lntau+34,tau^1/4,, tau=T1T2

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