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Considere 
  e 
  subespaços de um espaço vetorial 
  tal que 
  e 
 . Prove que para cada vetor 
 , existe um único 
  
 , tal que 
 .
Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, dado um espaço vetorial 
  que é a soma de dois subespaços 
  e 
  com interseção apenas no vetor zero, todo vetor em 
  pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de 
  e um vetor de 
 . Aqui, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços, e a ideia de soma direta. Vamos precisar entender como combinar vetores de subespaços e garantir que essa combinação seja única.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que 
 . Isso quer dizer que qualquer vetor 
  em 
  pode ser escrito como 
 , onde 
  está em 
  e 
  está em 
 . Então, sabemos que pelo menos uma decomposição existe para cada vetor 
 .
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que essa decomposição é única. Ou seja, se houver duas maneiras de escrever 
  como a soma de vetores de 
  e 
 , esses vetores devem ser iguais. Vamos supor que existam duas decomposições:
onde 
  e 
 .
Passo 4
Como as duas expressões são iguais a 
 , podemos igualar as duas somas:
Rearranjando os termos, temos:
Passo 5
Vamos analisar essa igualdade. O lado esquerdo 
  está em 
  porque a subtração de dois vetores em 
  também está em 
 . O lado direito 
  está em 
  por uma razão semelhante.
Passo 6
Então, temos que 
  está em 
  e ao mesmo tempo em 
 . Mas sabemos que 
 , ou seja, a única coisa que está nos dois subespaços ao mesmo tempo é o vetor zero.
Logo,
Passo 7
Isso implica que:
Ou seja, os vetores 
  e 
  são únicos para cada 
 .
Resposta
Portanto, demonstramos que para todo vetor 
  em 
 , existe um único par 
  e 
  tal que 
 .