A 415^{\circ} \mathrm{C},\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{2} \mathrm{O} decompõe-se na fase gasosa:
\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{CH}_{4(\mathrm{~g})}+\mathrm{CO}_{(\mathrm{g})}
Se a reação é de primeira ordem com uma meia-vida de 56 ’ 3 min a essa temperatura, calcule a constante de velocidade em s { }^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a reação gasosa
(\mathrm{CH}_2)_2\mathrm{O}_{(g)} \rightarrow \mathrm{CH}_{4(g)} + \mathrm{CO}_{(g)}
e informa que a reação é de primeira ordem e tem meia-vida igual a 56,3\\ \text{min} (interpretei o valor dado como 56,3\\ \text{min}). A pergunta é: calcular a constante de velocidade k em unidades de \text{s}^{-1}.
Informações relevantes extraídas:
t_{1/2} = 56,3\\ \text{min}
\text{reação de primeira ordem}çã
\text{queremos } k \text{ em } \text{s}^{-1}.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (explicadinha): para uma reação de primeira ordem, a velocidade de consumo do reagente segue a equação diferencial
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde [A] é a concentração do reagente e k é a constante de velocidade (unidade de tempo^{-1}). Resolver essa equação dá a lei integrada:
[A](t) = [A]_0 e^{-kt},
onde [A]_0 é a concentração inicial. A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A](t_{1/2}) = \tfrac{1}{2}[A]_0. Substituindo na lei integrada:
\tfrac{1}{2}[A]_0 = [A]_0 e^{-k t_{1/2}}.
Dividindo por [A]_0 (não é zero) obtemos:
\tfrac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, rearranjamos para a relação clássica da meia-vida de primeira ordem:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.

Passo 3

Isolando k da relação acima:
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Observação de unidades: \ln 2 é adimensional, logo as unidades de k são as de 1/t_{1/2}. Como queremos k em \text{s}^{-1}, devemos usar t_{1/2} em segundos.

Passo 4

Converter a meia-vida de minutos para segundos:
t_{1/2} = 56,3\\ \text{min} \times 60\\ \frac{\text{s}}{\text{min}} = 3378\\ \text{s}.

Passo 5

Calcular k numericamente. Usando \ln 2 \approx 0,693147,
k = \frac{0,693147}{3378\\ \text{s}} \approx 0,000205267\\ \text{s}^{-1}.
Arredondando para três algarismos significativos (já que t_{1/2} foi dado com três algarismos),
k \approx 2,05\times 10^{-4}\\ \text{s}^{-1}.

Passo 6

Interpretação rápida e moral de amigo: esse valor significa que a fração do reagente que reage por unidade de tempo segue uma taxa proporcional à concentração, com intensidade 2,05\times10^{-4} por segundo — é uma reação relativamente lenta na escala de segundos. Você mandou bem trazendo o problema; essa é a receita padrão para meia-vida de primeira ordem: converter unidades e usar k=\ln2/t_{1/2}. Vai com tudo na prova!

Resposta

k = 2,05\times 10^{-4}\\ \text{s}^{-1}

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