A decomposição na fase gasosa de
\mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{~g})} \rightarrow \mathrm{SO}_{2(\mathrm{~g})}+\mathrm{Cl}_{2(\mathrm{~g})}
É de primeira ordem para \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{~g})}.
A 600 K a meia vida para esse processo é de 2,2 \times 10^{5} \mathrm{~s}. Qual a constante de velocidade a essa temperatura?

Passo 1

O enunciado dá a reação de decomposição gasosa
\mathrm{SO}_{2}\mathrm{Cl}_{2(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{SO}_{2(\mathrm{g})} + \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{g})}
e afirma que é um processo de ordem um para \mathrm{SO}_{2}\mathrm{Cl}_{2}. Foi informada a meia-vida a 600\\ \mathrm{K}:
t_{1/2} = 2,2 \times 10^{5}\\ \mathrm{s}.
A pergunta é: qual a constante de velocidade k a essa temperatura?

Passo 2

Vamos entender a fórmula que relaciona meia-vida e constante para uma reação de primeira ordem. Para uma reação de primeira ordem a lei de velocidade é
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde [A] é a concentração do reagente em função do tempo, t é o tempo e k é a constante de velocidade (unidade de k será \mathrm{s}^{-1}). Essa equação diferencial diz que a taxa de variação da concentração é proporcional à própria concentração — típica de processos exponenciais.

Passo 3

Integramos a equação diferencial para obter a dependência temporal da concentração. Separando e integrando:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
Isso leva a
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -kt,
onde [A]_0 é a concentração inicial e [A]_t é a concentração no tempo t.
A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A]_{t_{1/2}} = \tfrac{1}{2}[A]_0. Substituindo na expressão acima:
\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -k\,t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos a relação bem conhecida para primeira ordem:
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui \ln 2 é o logaritmo natural de 2, numericamente \ln 2 \approx 0,693.

Passo 4

Agora substituímos o valor de t_{1/2} fornecido:
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0,693}{2,2\times 10^{5}\\ \mathrm{s}}.
Fazendo a divisão em etapas:
\frac{0,693}{2,2\times 10^{5}} = \left(\frac{0,693}{2,2}\right)\times 10^{-5}.
Calculando \dfrac{0,693}{2,2} \approx 0,315, então
k \approx 0,315\times 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1} = 3,15\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Interpretação rápida: k é bem pequeno ( \sim 10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}), o que faz sentido já que a meia-vida é grande ( 2{,}2\times 10^{5}\\ \mathrm{s} ≈ 61 horas). Pequeno k → reação lenta numa escala de tempo de horas/dias. Vai dar certo na prova: recordar a relação k=\ln2/t_{1/2} para primeira ordem e substituir.

Resposta

3,15\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}

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