4.46 (b) As cargas pontuais -3 nC e 4 nC estão localizadas em (1,0,0) e (-1,0,0). Esboce a linha equipotencial, no plano z=0, para qual V=0.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais e pede a linha equipotencial no plano z=0 onde o potencial é zero. Informações relevantes:
q_1 = -3\\ \text{nC} \quad\text{em}\quad (1,0,0),
q_2 = 4\\ \text{nC} \quad\text{em}\quad (-1,0,0).
A pergunta: esboçar a curva no plano z=0 tal que V=0.

Passo 2

Conceito-chave (explicadinho): o potencial elétrico criado por uma carga pontual q em um ponto a distância r é
V = k\,\frac{q}{r},
onde k é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui) e r é a distância do ponto até a carga. Pela superposição, o potencial total de duas cargas é a soma dos potenciais individuais:
V = k\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right),
onde r_1 é a distância até q_1 e r_2 até q_2. Para achar a linha onde V=0 basta resolver
\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} = 0,
pois k\neq0 cancela. Isso significa que, em cada ponto da curva pedida, as contribuições de potencial das duas cargas se anulam.

Passo 3

Aplicando os valores \;q_1=-3\\ \text{nC} e \;q_2=4\\ \text{nC}, obtemos a equação a ser satisfeita:
\frac{-3}{r_1} + \frac{4}{r_2} = 0.
Isolando, temos
\frac{4}{r_2} = \frac{3}{r_1}\quad\Longrightarrow\quad \frac{r_2}{r_1} = \frac{4}{3}.
Portanto a curva é o locus dos pontos para os quais a razão das distâncias até as cargas é constante (neste caso 4/3). Esse tipo de curva é uma circunferência de Apollonius.

Passo 4

Agora traduzimos a condição em coordenadas cartesianas no plano z=0. Seja P=(x,y). As distâncias até as cargas são
r_1 = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}\quad\text{(até \(q_1\) em \((1,0)\))},é
r_2 = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}\quad\text{(até \(q_2\) em \((-1,0)\))}.é
A condição \;r_2/r_1 = 4/3 dá, elevando ao quadrado:
(x+1)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^{\!2}\bigl((x-1)^2 + y^2\bigr).

Passo 5

Faço as contas passo a passo. Primeiro \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = \dfrac{16}{9}. Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar denominações:
9\bigl((x+1)^2 + y^2\bigr) = 16\bigl((x-1)^2 + y^2\bigr).
Expando os quadrados:
9(x^2 + 2x +1 + y^2) = 16(x^2 - 2x +1 + y^2).
Agora desenvolvo e recolho termos:
9x^2 + 18x + 9 + 9y^2 = 16x^2 - 32x + 16 + 16y^2.
Passo tudo para um lado:
0 = 16x^2 -32x +16 +16y^2 - 9x^2 -18x -9 -9y^2,
0 = 7x^2 -50x +7 +7y^2.
Divido por 7:
x^2 + y^2 - \frac{50}{7}x + 1 = 0.

Passo 6

Completo o quadrado em x. Escrevo
x^2 - \frac{50}{7}x = \left(x - \frac{25}{7}\right)^2 - \left(\frac{25}{7}\right)^2.
Substituindo em x^2 + y^2 - \dfrac{50}{7}x + 1 = 0
\left(x - \frac{25}{7}\right)^2 - \left(\frac{25}{7}\right)^2 + y^2 + 1 = 0.
Isolo a soma de quadrados:
\left(x - \frac{25}{7}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{25}{7}\right)^2 - 1.
Calculo a constante do lado direito:
\left(\frac{25}{7}\right)^2 - 1 = \frac{625}{49} - \frac{49}{49} = \frac{576}{49} = \left(\frac{24}{7}\right)^2.
Logo temos a equação de uma circunferência:
\left(x - \frac{25}{7}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{24}{7}\right)^2.

Passo 7

Interpretação e pontos notáveis (úteis para esboçar). A circunferência tem:
  • Centro: \displaystyle\left(\frac{25}{7},\,0\right).
  • Raio: \displaystyle\frac{24}{7}.
    Os pontos de interseção com o eixo x são encontrados por y=0:
x = \frac{25}{7} \pm \frac{24}{7} \implies x = \frac{49}{7} = 7 \quad\text{e}\quad x = \frac{1}{7}.
Ou seja, a curva corta o eixo x em x=\dfrac{1}{7} (entre as cargas) e em x=7 (bem à direita). Isso confirma que a circunferência está deslocada para a direita dos carregamentos e passa entre eles num ponto próximo de x\approx0{,}1429.

Resposta

\left(x - \frac{25}{7}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{24}{7}\right)^2
Centro: \left(\dfrac{25}{7},0\right), Raio: \dfrac{24}{7}.

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