*4.37 Um disco circular de raio a está carregado com uma densidade uniforme de cargas \rho_{\mathrm{S}} \mathrm{C} / \mathrm{m}. Demonstre que o potencial em um ponto sobre o seu eixo afastado de h do seu centro é dado por:
\sigma(\mathbf{r'}) é a densidade superficial de carga no elemento de área dA',
R é a distância entre o elemento de área dA' e o ponto onde calculamos o potencial,
\varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
No nosso problema \sigma(\mathbf{r'})=\rho_{\mathrm{s}} é constante e dQ=\rho_{\mathrm{s}}\,dA'.
Passo 3
Escolha de elemento diferencial conveniente: decompor o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr.
Área do anel: dA'=2\pi r\,dr (circunferência 2\pi r vezes espessura dr).
Carga do anel: dQ=\rho_{\mathrm{s}}\,dA'=\rho_{\mathrm{s}}\,2\pi r\,dr.
Explicação intuitiva: cada anel tem toda a sua carga à mesma distância axial do ponto sobre o eixo, o que facilita a integração.
Passo 4
Distância entre um ponto do anel de raio r e o ponto sobre o eixo a distância h do centro:
R=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.
Potencial produzido pelo anel inteiro (todos os pontos do anel estão à mesma distância R, então somar a contribuição é multiplicar):
onde usei que \sqrt{h^{2}}=h porque h\ge 0 (distância).
Passo 7
Voltar para a expressão do potencial, substituindo o valor de I:
V=\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2\varepsilon_{0}}\; I =\frac{\rho_{\mathrm{s}}}{2\varepsilon_{0}}\left(\sqrt{a^{2}+h^{2}}-h\right).
Breve verificação física: para a\to 0 (disco pequeno) a expressão aproximada coincide com o potencial de uma carga pontual Q=\rho_{\mathrm{s}}\pi a^{2} a distância h. Para h\to\infty o potencial tende a zero, consistente com a referência V(\infty)=0.