4.46 (b) As cargas pontuais -3 nC e 4 nC estão localizadas em
e
. Esboce a linha equipotencial, no plano
, para qual
.
Passo 1
O enunciado dá duas cargas pontuais e pede a linha equipotencial no plano
onde o potencial é zero. Informações relevantes:
A pergunta: esboçar a curva no plano
tal que
.
Passo 2
Conceito-chave (explicadinho): o potencial elétrico criado por uma carga pontual
em um ponto a distância
é
onde
é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui) e
é a distância do ponto até a carga. Pela superposição, o potencial total de duas cargas é a soma dos potenciais individuais:
onde
é a distância até
e
até
. Para achar a linha onde
basta resolver
pois
cancela. Isso significa que, em cada ponto da curva pedida, as contribuições de potencial das duas cargas se anulam.
Passo 3
Aplicando os valores
e
, obtemos a equação a ser satisfeita:
Isolando, temos
Portanto a curva é o locus dos pontos para os quais a razão das distâncias até as cargas é constante (neste caso
). Esse tipo de curva é uma circunferência de Apollonius.
Passo 4
Agora traduzimos a condição em coordenadas cartesianas no plano
. Seja
. As distâncias até as cargas são
A condição
dá, elevando ao quadrado:
Passo 5
Faço as contas passo a passo. Primeiro
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominações:
Expando os quadrados:
Agora desenvolvo e recolho termos:
Passo tudo para um lado:
Divido por
:
Passo 6
Completo o quadrado em
. Escrevo
Substituindo em
dá
Isolo a soma de quadrados:
Calculo a constante do lado direito:
Logo temos a equação de uma circunferência:
Passo 7
Interpretação e pontos notáveis (úteis para esboçar). A circunferência tem:
- Centro:
. - Raio:
.
Os pontos de interseção com o eixosão encontrados por :
Ou seja, a curva corta o eixo
em
(entre as cargas) e em
(bem à direita). Isso confirma que a circunferência está deslocada para a direita dos carregamentos e passa entre eles num ponto próximo de
.
Resposta
Centro:
, Raio:
.