9.47 Dois compostos intermetálicos, \mathrm{A}_{3} \mathrm{~B} e \mathrm{AB}_{3}, existem para os elementos A e B . Se as composições para \mathrm{A}_{3} \mathrm{~B} e \mathrm{AB}_{3} são de 91,0 \% p A-9,0 %p B e 53,0 %p A-47,0 %p B, respectivamente, e se o elemento A é o zircônio, identifique o elemento B.

Passo 1

O enunciado dá dois intermetálicos de fórmula \mathrm{A}_3\mathrm{B} e \mathrm{AB}_3 cujas composições em massa são, respectivamente, 91,0\% de A e 9,0\% de B, e 53,0\% de A e 47,0\% de B. Sabe-se que A é o zircônio, cujo peso atômico é aproximadamente
M_A = 91,22\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Nosso objetivo é determinar o peso atômico M_B de B a partir dessas composições e, em seguida, identificar o elemento B na Tabela Periódica.

Passo 2

Para \mathrm{A}_3\mathrm{B}, a fração mássica de A é
\frac{3M_A}{3M_A + M_B} = 0,910.
Fazendo a álgebra:
3M_A = 0,910\,(3M_A + M_B) \quad\Longrightarrow\quad 3M_A = 2,73\,M_A + 0,910\,M_B
3M_A - 2,73\,M_A = 0,910\,M_B \quad\Longrightarrow\quad 0,27\,M_A = 0,910\,M_B \quad\Longrightarrow\quad M_B = \frac{0,27}{0,910}\,M_A.
Substituindo M_A = 91,22, obtém-se
M_B \approx 0,2967 \times 91,22 \approx 27,06\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 3

Para \mathrm{AB}_3, a fração mássica de A é
\frac{M_A}{M_A + 3M_B} = 0,530.
De modo análogo:
M_A = 0,530\,(M_A + 3M_B) \quad\Longrightarrow\quad M_A = 0,530\,M_A + 1,59\,M_B
M_A - 0,530\,M_A = 1,59\,M_B \quad\Longrightarrow\quad 0,470\,M_A = 1,59\,M_B \quad\Longrightarrow\quad M_B = \frac{0,470}{1,59}\,M_A.
Substituindo M_A = 91,22, vem
M_B \approx 0,2956 \times 91,22 \approx 26,97\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Os dois valores concordam em torno de 27\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 4

Na Tabela Periódica, o elemento de massa atômica próxima de 27,0\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} é o alumínio, cujo M_{\mathrm{Al}} = 26,98\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Resposta

O elemento B é o alumínio.

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