49 Considere que, para a preparação do complexo, seja utilizada uma solução de cloreto de cobalto (II) anidro ( \mathrm{CoCl}_{2} ). Nesse caso, a relação entre o produto de solubilidade ( K_{\mathrm{ps}} ) do \mathrm{CoCl}_{2} e sua solubilidade molar ( c_{\mathrm{s}} ) seriam corretamente representados por c_{\mathrm{s}}=\sqrt[3]{\frac{K_{\mathrm{ps}}}{4}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a relação entre o produto de solubilidade e a solubilidade molar do cloreto de cobalto(II) anidro está corretamente dada por \displaystyle c_{s}=\sqrt[3]{\frac{K_{\mathrm{ps}}}{4}}. Informações relevantes fornecidas: fórmula do sólido \mathrm{CoCl}_{2} (aniidro) e a expressão proposta relacionando \;K_{\mathrm{ps}}\; e \;c_{s}\;. A tarefa é checar essa relação e, se for o caso, demonstrá-la passo a passo.

Passo 2

Escrevemos a equação de dissolução do sal sólido e explicamos a estequiometria — isto é, quantas partículas cada unidade formula gera ao dissolver-se. A equação de dissolução é
\mathrm{CoCl}_{2}(s) \rightleftharpoons \mathrm{Co}^{2+}(aq) + 2\,\mathrm{Cl}^{-}(aq).
Isso significa que, para cada mol de \mathrm{CoCl}_{2} que se dissolve, formam-se 1 mol de \mathrm{Co}^{2+} e 2 mol de \mathrm{Cl}^{-}.

Passo 3

Definimos a solubilidade molar. Seja c_{s} a solubilidade molar do \mathrm{CoCl}_{2}, isto é, o número de mols de \mathrm{CoCl}_{2} que se dissolvem por litro de solução. Usando a estequiometria do passo anterior, as concentrações na solução em equilíbrio valem:
[\mathrm{Co}^{2+}] = c_{s}, \qquad [\mathrm{Cl}^{-}] = 2\,c_{s}.
Expliquei: cada mol de sólido dá exatamente 1 mol de \mathrm{Co}^{2+} e 2 mols de \mathrm{Cl}^{-}, por isso os fatores.

Passo 4

Escrevemos a expressão do produto de solubilidade ( K_{\mathrm{ps}}) para esse equilíbrio. Por definição,
K_{\mathrm{ps}} = [\mathrm{Co}^{2+}]\,[\mathrm{Cl}^{-}]^{2}.
Agora substituímos as concentrações em função de c_{s}:
K_{\mathrm{ps}} = \bigl(c_{s}\bigr)\bigl(2\,c_{s}\bigr)^{2}.
Faço as contas com calma: (2\,c_{s})^{2}=4\,c_{s}^{2}, então
K_{\mathrm{ps}} = c_{s}\cdot 4\,c_{s}^{2} = 4\,c_{s}^{3}.

Passo 5

Isolamos c_{s} na expressão obtida. A equação K_{\mathrm{ps}} = 4\,c_{s}^{3} pode ser rearranjada como
c_{s}^{3} = \frac{K_{\mathrm{ps}}}{4}.
Tirando a raiz cúbica dos dois lados (lembrando que solubilidade é positiva), obtemos
c_{s} = \sqrt[3]{\frac{K_{\mathrm{ps}}}{4}}.
Aqui usei a propriedade de potências: se x^{3}=A então x=\sqrt[3]{A}, tomando a raiz cúbica positiva porque \,c_{s}\ge 0.

Passo 6

Conclusão e observações práticas. A relação proposta aparece exatamente da mesma forma que deduzimos: \displaystyle c_{s}=\sqrt[3]{\frac{K_{\mathrm{ps}}}{4}}. Observação importante (para a prova): essa derivação assume que não há outros equilíbrios afetando as concentrações (por exemplo complexação do \mathrm{Co}^{2+} com ligantes na solução) e que não existe efeito de íon comum; em situações com esses efeitos a relação muda.

Resposta

A relação está correta.

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