49 Resolva o sistema:
\left(\begin{array}{l} \frac{a-b}{2}+\frac{a+3 b}{3}=\frac{7}{6} \\\ \frac{2 a+b}{3}-\frac{1}{2}(a-2 b)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas a e b:
\frac{a - b}{2} + \frac{a + 3b}{3} = \frac{7}{6},
\frac{2a + b}{3} - \frac{1}{2}(a - 2b) = -1.
O conteúdo é resolução de sistema linear; vamos eliminar frações e usar substituição.

Passo 2

Multiplicamos a primeira equação por 6 para eliminar os denominadores:
6\Bigl(\frac{a - b}{2} + \frac{a + 3b}{3}\Bigr) = 6 \times \frac{7}{6}
3(a - b) + 2(a + 3b) = 7.

Passo 3

Distribuindo e somando termos semelhantes:
3a - 3b + 2a + 6b = 7
5a + 3b = 7.

Passo 4

Multiplicamos a segunda equação por 6:
6\Bigl(\frac{2a + b}{3} - \frac{1}{2}(a - 2b)\Bigr) = 6 \times (-1)
2(2a + b) - 3(a - 2b) = -6.

Passo 5

Distribuindo e somando termos semelhantes:
4a + 2b - 3a + 6b = -6
a + 8b = -6.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} 5a + 3b = 7,\\\ a + 8b = -6. \end{cases}
Isolamos a na segunda equação:
a = -6 - 8b,
e substituímos em 5a + 3b = 7:
5(-6 - 8b) + 3b = 7
-30 - 40b + 3b = 7
-37b = 37
b = -1.

Passo 7

Com b = -1, voltamos em a = -6 - 8b:
a = -6 - 8(-1) = -6 + 8 = 2.

Resposta

a = 2 b = -1

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