4.Determina os valores de x que sàtisfaz a equação x+\sqrt{x-1}=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com radical
x + \sqrt{x - 1} = 2x - 1.
O conteúdo aqui é equação com radical: precisamos determinar o domínio de existência, isolar o radical, elevar ao quadrado, resolver a equação resultante e descartar eventuais soluções extraviadas.

Passo 2

Analisamos o domínio da raiz \sqrt{x-1}. Para que x-1 seja não negativo, é necessário
x - 1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 1.

Passo 3

Isolamos o termo que contém a raiz:
\sqrt{x - 1} = 2x - 1 - x = x - 1.
Note que, para o radical existir e a igualdade fazer sentido, já temos x \ge 1 e também \sqrt{x-1}\ge0, o que implica x-1\ge0, consistente com x\ge1.

Passo 4

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
\bigl(\sqrt{x - 1}\bigr)^{2} = (x - 1)^{2} \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = (x - 1)^{2}.
Reescrevendo como equação quadrática:
(x - 1)^{2} - (x - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)\bigl[(x - 1) - 1\bigr] = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)(x - 2)=0.

Passo 5

As raízes da fatoração são
x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1, \qquad x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Passo 6

Verificamos cada candidato na equação original e no domínio x\ge1:
Para x=1:
1 + \sqrt{1 - 1} = 1 + 0 = 1, \quad 2\cdot1 - 1 = 1,
ok.
Para x=2:
2 + \sqrt{2 - 1} = 2 + 1 = 3, \quad 2\cdot2 - 1 = 3,
ok.
Ambas as soluções satisfazem a equação e respeitam x\ge1.

Resposta

As soluções são x=1 e x=2.

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