2.4H Falso ou Verdadeiro? Justifique.
se
, e
é convergente, então
diverge;
se
, e
é convergente, então
é convergente;
(c) se
, e
, então a série
diverge;
(d) se
, e
, então a série
converge;
(e) se
e
são séries de termos positivos divergentes, então a série
também diverge;
(f) se
, e
, então a série
diverge;
se
e
converge, então
converge;
se
e
converge, então
converge;
2.4I A série
é convergente ou divergente?
(c) se
(d) se
(e) se
(f) se
2.4I A série
Passo 1
O enunciado 2.4H pede para determinar se cada afirmação sobre séries de termos positivos é verdadeira ou falsa, justificando cada caso. Em 2.4I devemos analisar a convergência da série de termo geral
Vamos usar propriedades básicas de séries p-séries, critério da comparação, expansão de Taylor para
e comportamento de termos gerais.
Passo 2
Análise da afirmação (a): “Se
e
converge, então
diverge.”
Como converge com
, temos
. Logo
Como
isto é, o termo geral de
não tende a zero, então a série diverge. A afirmação é verdadeira.
Passo 3
Análise da afirmação (b): “Se
e
converge, então
converge.”
Pelo desigualdade entre médias aritmética e geométrica,
Pelo desigualdade entre médias aritmética e geométrica,
Somando em
de 1 a
e usando
, obtemos convergência por comparação com
. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação (c): “Se
e
, então
diverge.”
Da condição segue
. A série
é p-série com
, que diverge. Logo a afirmação é verdadeira.
Da condição
Passo 5
Análise da afirmação (d): “Se
e
, então
converge.”
Basta dar o contra-exemplo : então
mas
Basta dar o contra-exemplo
e
diverge. A afirmação é falsa.
Passo 6
Análise da afirmação (e): “Se
e
divergem (com
), então
diverge.”
Como
Como
a soma de duas séries divergentes de termos positivos diverge. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmação (f): “Se
e
, então
diverge.”
O contra-exemplo tem razão
mas
converge. A afirmação é falsa.
O contra-exemplo
Passo 8
Análise da afirmação (g): “Se
e
converge, então
converge.”
Para vale
. Como
converge, pela comparação
também converge. A afirmação é verdadeira.
Para
Passo 9
Análise da afirmação (h): “Se
e
converge, então
converge.”
Para grande temos
, logo
Para
e
converge. Pelo critério da comparação,
converge. A afirmação é verdadeira.
Passo 10
Análise da série de 2.4I:
Usando expansão de Taylor para
:
e para
. Logo
e
Subtraindo, o termo dominante de
é
que se comporta como
.
Passo 11
Como
e
é convergente, pela comparação absoluta a série
converge.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(g) Verdadeiro
(h) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(g) Verdadeiro
(h) Verdadeiro
2.4I A série
é convergente.