2.4H Falso ou Verdadeiro? Justifique.
\sqrt{ }(\mathrm{a}) se a_{n}>0, \forall n, e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente, então \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} diverge;
\checkmark(\mathrm{b}) se a_{n}>0, \forall n, e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente, então \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_{n} a_{n+1}} é convergente;
(c) se a_{n}>0, \forall n, e \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} a_{n}=1, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge;
(d) se a_{n}>0, \forall n, e \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, então a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}} converge;
(e) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} são séries de termos positivos divergentes, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) também diverge;
(f) se a_{n}>0, \forall n, e \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge;
\checkmark(\mathrm{g}) se 0<a_{n}<1 e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} converge;
\bigvee \mathrm{h}) se 0<a_{n}<1 e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1-a_{n}} converge;
2.4I A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n}-\ln \frac{n}{n+1}\right) é convergente ou divergente?

Passo 1

O enunciado 2.4H pede para determinar se cada afirmação sobre séries de termos positivos é verdadeira ou falsa, justificando cada caso. Em 2.4I devemos analisar a convergência da série de termo geral
t_{n} = \frac{1}{n^{2}+n} \;-\;\ln\frac{n}{n+1}.
Vamos usar propriedades básicas de séries p-séries, critério da comparação, expansão de Taylor para \ln(1+x) e comportamento de termos gerais.

Passo 2

Análise da afirmação (a): “Se a_{n}>0 e \sum a_{n} converge, então \sum \tfrac{1}{a_{n}} diverge.”
Como \sum a_{n} converge com a_{n}>0, temos \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}} = +\infty,
isto é, o termo geral de \sum \tfrac{1}{a_{n}} não tende a zero, então a série diverge. A afirmação é verdadeira.

Passo 3

Análise da afirmação (b): “Se a_{n}>0 e \sum a_{n} converge, então \sum \sqrt{a_{n}a_{n+1}} converge.”
Pelo desigualdade entre médias aritmética e geométrica,
\sqrt{a_{n}a_{n+1}}\;\le\;\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}.
Somando em n de 1 a \infty e usando \sum_{n=1}^\infty a_{n+1}=\sum_{n=1}^\infty a_{n}-a_{1}, obtemos convergência por comparação com \sum a_{n}. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação (c): “Se a_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\,a_{n}=1, então \sum a_{n} diverge.”
Da condição \sqrt{n}\,a_{n}\to1 segue a_{n}\sim1/\sqrt{n}. A série \sum1/\sqrt{n} é p-série com p=1/2\le1, que diverge. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação (d): “Se a_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, então \sum \tfrac{a_{n}}{\sqrt{n}} converge.”
Basta dar o contra-exemplo a_{n}=1/\sqrt{n}: então a_{n}\to0 mas
\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\frac{1/\sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n},
e \sum1/n diverge. A afirmação é falsa.

Passo 6

Análise da afirmação (e): “Se \sum a_{n} e \sum b_{n} divergem (com a_{n},b_{n}>0), então \sum(a_{n}+b_{n}) diverge.”
Como
\sum (a_{n}+b_{n}) \;=\;\sum a_{n} \;+\;\sum b_{n},
a soma de duas séries divergentes de termos positivos diverge. A afirmação é verdadeira.

Passo 7

Análise da afirmação (f): “Se a_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=1, então \sum a_{n} diverge.”
O contra-exemplo a_{n}=1/n^{2} tem razão \tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\to1 mas \sum1/n^{2} converge. A afirmação é falsa.

Passo 8

Análise da afirmação (g): “Se 0<a_{n}<1 e \sum a_{n} converge, então \sum a_{n}^{2} converge.”
Para 0<a_{n}<1 vale a_{n}^{2}\le a_{n}. Como \sum a_{n} converge, pela comparação \sum a_{n}^{2} também converge. A afirmação é verdadeira.

Passo 9

Análise da afirmação (h): “Se 0<a_{n}<1 e \sum a_{n} converge, então \sum \tfrac{a_{n}}{1-a_{n}} converge.”
Para n grande temos a_{n}<1/2, logo
\frac{a_{n}}{1-a_{n}}\le\frac{a_{n}}{1/2}=2a_{n},
e \sum2a_{n} converge. Pelo critério da comparação, \sum \tfrac{a_{n}}{1-a_{n}} converge. A afirmação é verdadeira.

Passo 10

Análise da série de 2.4I:
t_{n}=\frac{1}{n^{2}+n} \;-\;\ln\frac{n}{n+1} =\frac{1}{n^{2}(1+1/n)} \;-\;\bigl(-\ln(1+1/n)\bigr).
Usando expansão de Taylor para \ln(1+1/n):
\ln(1+1/n)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\bigl(n^{-3}\bigr),
e para 1/(1+1/n)=1-1/n+O(n^{-2}). Logo
\frac{1}{n^{2}+n} =\frac{1}{n^{2}}\bigl(1-1/n+O(n^{-2})\bigr) =\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{3}}+O(n^{-4}),
e
-\ln\frac{n}{n+1} =\ln(1+1/n) =\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O(n^{-3}).
Subtraindo, o termo dominante de t_{n} é
\frac{1}{n^{2}} - \bigl(-\tfrac{1}{2n^{2}}\bigr) =\frac{1}{2n^{2}}+O(n^{-3}),
que se comporta como 1/(2n^{2}).

Passo 11

Como t_{n}=O(1/n^{2}) e \sum1/n^{2} é convergente, pela comparação absoluta a série \sum t_{n} converge.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(g) Verdadeiro
(h) Verdadeiro
2.4I A série \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{n^{2}+n}-\ln\tfrac{n}{n+1}\bigr) é convergente.

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