4.4K Considere a função f(x)=x, definida para 0<x<2. Encontre: (a) a extensão ímpar 4-periódica de f e a correspondente série de Fourier de senos da extensão; (b) a extensão par 4 -periódica de f e a correspondente série de Fourier de cossenos.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x em 0<x<2 e pede duas extensões 4-periódicas:
– extensão ímpar, o que gera série de Fourier em senos (meio-espectro ímpar em [0,2]);
– extensão par, o que gera série de Fourier em cossenos (meio-espectro par em [0,2]).
Em ambas usaremos L=2, pois a “meia-onda” vai de 0 a 2.

Passo 2

Definimos a extensão ímpar 4-periódica \tilde f(x)\) por \[\tilde f(x)= \begin{cases} x,&0<x<2,\\\\ -\tilde f(-x),&-2<x<0, \end{cases}
e depois repetimos com período 4\]. Como \(x\mapsto x já é ímpar em (-2,2), temos simplesmente \tilde f(x)=x nessa região.
A série de Fourier em senos (meio-espectro ímpar) é
\tilde f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
com
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx \quad\text{e}\quad L=2.

Passo 3

Calculamos
b_n=\int_{0}^{2}x\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Por partes, seja u=x, dv=\sin(\tfrac{n\pi x}{2})dx, então du=dx,
v=-\frac{2}{n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).
Logo
\int_{0}^{2}x\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)dx =-\frac{2x}{n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\Big|_{0}^{2} +\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)dx.
A segunda integral dá \frac{4}{n\pi}\sin(\tfrac{n\pi x}{2})\big|_{0}^{2}=0. Então
b_n =-\frac{2\cdot2}{n\pi}\cos(n\pi) = -\frac{4}{n\pi}(-1)^n =\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n\pi}.
Portanto a série de senos é
x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n\pi} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
válida para x\in(0,2) e estendida ímpar-4-periódica.

Passo 4

Para a extensão par 4-periódica \breve f(x)\) definimos \[\breve f(x)= \begin{cases} x,&0<x<2,\\\ \breve f(-x),&-2<x<0, \end{cases}
depois repetimos com período 4\]. Em \((-2,2) isso é \breve f(x)=|x|.
A série de Fourier em cossenos (meio-espectro par) é
\breve f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
com
a_0=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx, \quad L=2.

Passo 5

Primeiro
a_0=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}x\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{2^2}{2} =1.
Em seguida
a_n=\int_{0}^{2}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Por partes, com u=x, dv=\cos(\tfrac{n\pi x}{2})dx, tem-se
v=\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
levando a
\int_{0}^{2}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)dx =\frac{2x}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\Big|_{0}^{2} -\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{2}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)dx.
A primeira parte anula (pois \sin(n\pi)=0), e a segunda dá -\frac{2}{n\pi}\cdot\bigl[-\tfrac{2}{n\pi}\cos(\tfrac{n\pi x}{2})\bigr]_{0}^{2} =\frac{4}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Logo
a_n =\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^2\pi^2} =\begin{cases} -\dfrac{8}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í
Então a série de cossenos é
|x| = \frac{a_0}{2}+\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty} -\frac{8}{n^2\pi^2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) = \frac12-\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{2}\bigr)}{(2k-1)^2}.]

Resposta

(a) A extensão ímpar 4-periódica de f(x)=x em (0,2) é \tilde f(x)=x em (-2,2) repetida com período 4, e sua série de Fourier em senos é
x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n\pi} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).
(b) A extensão par 4-periódica de f(x)=x em (0,2) é \breve f(x)=|x| em (-2,2) repetida com período 4, e sua série de Fourier em cossenos é
|x| = \frac12-\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{2}\bigr)}{(2k-1)^2}.

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