4.4K Considere a função f(x)=x, definida para 0<x<2. Encontre: (a) a extensão ímpar 4-periódica de f e a correspondente série de Fourier de senos da extensão; (b) a extensão par 4 -periódica de f e a correspondente série de Fourier de cossenos.
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x)=x em 0<x<2 e pede duas extensões 4-periódicas:
– extensão ímpar, o que gera série de Fourier em senos (meio-espectro ímpar em [0,2]);
– extensão par, o que gera série de Fourier em cossenos (meio-espectro par em [0,2]).
Em ambas usaremos L=2, pois a “meia-onda” vai de 0 a 2.
Passo 2
Definimos a extensão ímpar 4-periódica \tilde f(x)\) por
\[\tilde f(x)= \begin{cases} x,&0<x<2,\\\\ -\tilde f(-x),&-2<x<0, \end{cases}
e depois repetimos com período 4\]. Como \(x\mapsto x já é ímpar em (-2,2), temos simplesmente \tilde f(x)=x nessa região.
A série de Fourier em senos (meio-espectro ímpar) é
A primeira parte anula (pois \sin(n\pi)=0), e a segunda dá -\frac{2}{n\pi}\cdot\bigl[-\tfrac{2}{n\pi}\cos(\tfrac{n\pi x}{2})\bigr]_{0}^{2}
=\frac{4}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
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