3.4M Integrando termo a termo de 0 até
a série de potências de
do Exercício 3.4L, mostre que
. Para que valores de
esta representação é válida?
Passo 1
O enunciado pede para obter, a partir da série de potências de
, uma expressão fechada para
integrando termo a termo de 0 até . Vamos usar a série conhecida de
e depois calcular a integral explicitamente.
integrando termo a termo de 0 até
Passo 2
Para
temos a expansão em série de potências:
Passo 3
Integramos de 0 até
termo a termo. Como a série converge uniformemente em
para qualquer
, podemos trocar soma e integral:
Passo 4
Fazendo a mudança de índice
, a soma fica
Logo
Passo 5
Calculamos a integral por partes. Tomando
,
, então
e
, obtemos
E
Portanto
Passo 6
Substituindo em
,
chegamos a
chegamos a
Como tudo se baseou na série de
, a representação é válida para
.