3.4S Use uma série de potências adequada e aproxime cada integral com 4 casas decimais:
Passo 1
O enunciado pede para aproximar com quatro casas decimais a integral
usando uma série de potências. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor de
em torno de
, substituindo
, e em seguida integrar termo a termo.
Passo 2
Começamos pela série de Taylor de
:
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
a
:
Logo,
Passo 4
Para decidir até onde somar, usamos o critério de resto da série alternada: o erro ao truncar depois de
é menor em módulo que o termo de ordem
. Calculamos alguns termos:
O termo
já é da ordem de
, muito menor que
, então somar até
ou
garante as quatro casas decimais.
Passo 5
Somando termos até
e incluindo
para segurança:
Arredondando esse valor a quatro casas decimais obtemos
Resposta
0,4849