1. Ar a 50^circ C e pressão atmosférica é descarregado de uma fornalha através de um tubo que apresenta diâmetro igual a 203 mm. A velocidade média do ar nesse tubo é 3,0 m / s. O tubo descarrega o ar num duto com seção transversal quadrada (de lado a ). Admita que as superfícies do tubo e do duto sejam lisas (varepsilon=0). Determine o valor de a para que a perda de carga por metro de duto seja igual àquela no tubo. (a=0,186 m )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos ar a 50°C sendo descarregado de uma fornalha por um tubo circular com diâmetro de 203 mm e velocidade média de 3,0 m/s. Esse tubo se conecta a um duto com seção transversal quadrada, cujo lado é . Queremos encontrar o valor de de forma que a perda de carga por metro de duto seja igual à perda no tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a perda de carga em tubos com diferentes seções transversais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do tubo circular. A fórmula para a área de um círculo é:
Acírculo = pi ( D2 )^2 í
Onde Acírculo = pi ( 0,2032 )^2 approx pi (0,1015)^2 approx pi times 0,0103 approx 0,0323 , m^2 é o diâmetro do tubo.
Substituindo mm (ou 0,203 m):
í

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do duto quadrado. A área de um quadrado é:
Aquadrado = a^2
Mas ainda não conhecemos , então vamos manter essa relação para o próximo passo.

Passo 4

A perda de carga em um tubo pode ser relacionada pela fórmula:
De
Onde:
  • é a perda de carga,
  • é o fator de atrito,
  • é o comprimento,
  • é o diâmetro,
  • é a densidade do ar,
  • é a velocidade média.
Como as superfícies são lisas ( ), podemos considerar que o fator de atrito será o mesmo para ambos, tubo e duto.

Passo 5

Queremos que a perda de carga por metro de duto seja igual à perda no tubo. Isso significa que:
De
Simplificando, temos:
f cdot vtubo^22Dtubo = f cdot vduto^22Dduto
Como vtubo^2Dtubo = vduto^2Dduto aparece nos dois lados, podemos cancelá-lo:

Passo 6

Sabemos que a vazão Q = Atubo cdot vtubo = Aduto cdot vduto é a mesma no tubo e no duto:
vduto = AtuboAduto cdot vtubo
Então, podemos relacionar as velocidades:
vduto = Atuboa^2 cdot vtubo
Substituindo :

Passo 7

Voltando à equação da perda de carga igual:
vtubo^2Dtubo = ( Atuboa^2 cdot vtubo )^2Dduto
Como o duto é quadrado, podemos considerar vtubo^2Dtubo = ( Atuboa^2 cdot vtubo )^2a como a dimensão característica, que para um quadrado é .
Então:

Passo 8

Simplificando a equação:
vtubo^2Dtubo = Atubo^2 cdot vtubo^2a^5
Podemos cancelar 1Dtubo = Atubo^2a^5 de ambos os lados:
a^5 = Atubo^2 cdot Dtubo
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo os valores que já calculamos:
a^5 = (0,0323 , m^2)^2 cdot 0,203 , m approx 0,00104 , m^4 cdot 0,203 , m approx 0,000211 , m^5
Agora, tiramos a raiz quinta para encontrar a = raiz[5]0,000211 approx 0,186 , m :

Resposta

O valor de é aproximadamente metros.

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