50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de vapor d’água saturado a 100 \mathrm{kPasâo}â comprimidosadiabaticamente até 300 kPa . Para uma eficiência do compressor de 0.75 , qual é apotência necessária e quais são as propriedades da corrente de descarga (temperatura e estado fisico)? (2.0 pt)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo bem claro):
  • Dados fornecidos:
    • Vazão volumétrica de vapor: \,50\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Estado de entrada: vapor saturado à pressão \,100\\ \mathrm{kPa}.
    • Compressão adiabática até \,300\\ \mathrm{kPa}.
    • Eficiência do compressor: \,\eta_c = 0{,}75.
  • Perguntas:
    1. Qual a potência necessária do compressor (potência indicada / mecânica requerida)?
    2. Quais as propriedades da corrente de descarga: temperatura e estado físico (vapor saturado, líquido ou superaquecido)?

Passo 2

Primeiro precisamos das propriedades do vapor na entrada (estado saturado a 100\\ \mathrm{kPa}). Peguei estes valores em tabelas de vapor saturado:
  • Temperatura de saturação: \,T_1 = 99{,}61^\circ\mathrm{C} = 372{,}76\\ \mathrm{K}.
  • Entalpia do vapor saturado: \,h_1 = 2675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entropia do vapor saturado: \,s_1 = 7{,}359\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Volume específico do vapor saturado: \,v_1 = 1{,}694\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
(Obs.: todos os números acima foram consultados em tabelas padrão de vapor — uso desses valores é obrigatório para este tipo de problema.)

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot{m} a partir da vazão volumétrica \dot{V}:
\dot{m}=\frac{\dot{V}}{v_1}=\frac{50\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}}{1{,}694\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}}.
Fazendo a conta:
\dot{m}\approx 29{,}53\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Explicar a eficiência isotérmica/isentrópica do compressor e a fórmula que vamos usar.
  • Para um compressor define‑se a eficiência isentrópica como a razão entre o trabalho mínimo (isentrópico) e o trabalho real:
\eta_c=\frac{h_{s2}-h_1}{h_2-h_1},
onde
  • h_1 é a entalpia na entrada,
  • h_{s2} é a entalpia no estado 2 supondo compressão isentrópica até P_2,
  • h_2 é a entalpia real de descarga.
  • Reordenando para achar h_2:
h_2 = h_1 + \frac{h_{s2}-h_1}{\eta_c}.
Então precisamos achar h_{s2} (estado isentrópico a P_2=300\\ \mathrm{kPa} com s_{s2}=s_1).

Passo 5

Encontrar o estado isentrópico 2 (isto é, s_{s2}=s_1 e P_2=300\\ \mathrm{kPa}).
  • Verificando tabelas: a entropia do vapor saturado em 0{,}3\\ \mathrm{MPa} (300 kPa) é menor que s_1; isso significa que o ponto isentrópico a s=s_1 e P=300\\ \mathrm{kPa} está na região de vapor superaquecido (ou seja, temperatura > temperatura de saturação a 300 kPa).
  • Para estimar T_{s2} e h_{s2} uso a relação aproximada (modelo de gás perfeito com c_p constante) para variação de entropia:
0 = s_{s2}-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_{s2}}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right),
onde
  • R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (constante do vapor d’água),
  • escolho c_p\approx 2{,}01\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor médio razoável para vapor superaquecido nesta faixa).
  • Isolando T_{s2}:
\ln\!\left(\frac{T_{s2}}{T_1}\right)=\frac{R}{c_p}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Calcule:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(3)\approx 1{,}0986, \qquad \frac{R}{c_p}=\frac{0{,}4615}{2{,}01}\approx 0{,}2296,
\ln\!\left(\frac{T_{s2}}{T_1}\right)\approx 0{,}2296\times 1{,}0986 \approx 0{,}2522,
\frac{T_{s2}}{T_1}\approx e^{0{,}2522}\approx 1{,}287,
T_{s2}\approx 1{,}287\times 372{,}76\\ \mathrm{K}\approx 480{,}0\\ \mathrm{K}\approx 206{,}9^\circ\mathrm{C}.
  • Agora estimo h_{s2} usando h_{s2}\approx h_1 + c_p(T_{s2}-T_1):
\Delta h_{s} = c_p (T_{s2}-T_1)=2{,}01\cdot(480{,}0-372{,}76)\approx 215{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},
h_{s2}\approx 2675{,}5 + 215{,}6 \approx 2891{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Obs.: este procedimento usa aproximação com c_p constante. O caminho mais preciso seria consultar a tabela de vapor superaquecido a 300\\ \mathrm{kPa} e achar a entalpia para s=7{,}359\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; o resultado numérico fica muito próximo ao obtido com a aproximação acima.)

Passo 6

Calcular a entalpia real de descarga h_2 usando a eficiência:
h_2 = h_1 + \frac{h_{s2}-h_1}{\eta_c} =2675{,}5 + \frac{2891{,}1-2675{,}5}{0{,}75}.
Compute:
h_2 \approx 2675{,}5 + \frac{215{,}6}{0{,}75}\approx 2675{,}5 + 287{,}47 \approx 2963{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Potência necessária (potência de compressão) — taxa de trabalho requerida:
\dot{W}=\dot{m}(h_2-h_1).
Substituindo:
h_2-h_1 \approx 2963{,}0 - 2675{,}5 = 287{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot{W}\approx 29{,}53\\ \mathrm{kg/s}\times 287{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}\approx 8490\\ \mathrm{kW}\approx 8{,}49\\ \mathrm{MW}.

Passo 8

Temperatura de descarga real T_2 e estado físico:
  • Estimo T_2 pela mesma aproximação linear em h:
T_2 \approx T_1 + \frac{h_2-h_1}{c_p} =372{,}76\\ \mathrm{K} + \frac{287{,}5}{2{,}01}\\ \mathrm{K}\approx 515{,}7\\ \mathrm{K}.
Em Celsius:
T_2\approx 515{,}7\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 242{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Compare com a temperatura de saturação à pressão de descarga:
    • Temperatura de saturação a 300\\ \mathrm{kPa}: T_\text{sat}(0{,}3\\ \mathrm{MPa})\approx 133{,}5^\circ\mathrm{C}.
    • Como T_2\approx 242{,}6^\circ\mathrm{C} \gg 133{,}5^\circ\mathrm{C}, a descarga está em condição de vapor superaquecido (não há condensação).

Passo 9

Observações finais e precisão:
  • Resultados numéricos foram obtidos usando valores de tabelas para o estado saturado inicial e aproximação com c_p constante para tratar o superaquecimento. Se for necessário maior precisão, o procedimento correto é:
    1. usar s_1 e P_2 para consultar diretamente as tabelas de vapor superaquecido e obter h_{s2} e T_{s2};
    2. então aplicar a fórmula da eficiência para obter h_2 e consultar a tabela de superaquecido para achar T_2 correspondente a P_2 e h_2.
  • Numericamente, a aproximação usada é bastante adequada e os valores finais serão muito próximos aos das tabelas.

Resposta

Potência necessária: \dot{W}\approx 8{,}49\\ \mathrm{MW}
Temperatura de descarga: T_2\approx 242{,}6^\circ\mathrm{C}
Estado físico da descarga: vapor superaquecido (vapor seco, superaquecido)

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