Um vaso inicialmente no vácuo e cheio de ar vindo de uma fonte a 25^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa , até que a pressão interna fique igual a 100 kPa . Assumindo que não há transferência de calor, qual será a temperatura final? Essa temperatura depende do volume do vaso? (R: 143,4^{\circ} \mathrm{C}; não)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Fonte (reservatório) de ar a \,25^{\circ}\mathrm{C} e \,100\\ \mathrm{kPa}.
    • O vaso está inicialmente no vácuo (ou seja, não há massa nem energia interna dentro).
    • Abre-se a válvula e deixa entrar ar da fonte até que a pressão interna no vaso seja \,100\\ \mathrm{kPa} (igual à pressão da fonte).
    • Não há transferência de calor durante o processo (adiabático).
    • O vaso é rígido (o enunciado e a figura mostram um vaso com volume fixo).
  • O que o enunciado pede:
    1. Qual será a temperatura final dentro do vaso?
    2. Essa temperatura depende do volume do vaso?

Passo 2

Qual é a abordagem física correta? (explicação didática do método)
  • O problema envolve massa entrando no vaso (sistema aberto durante o enchimento). Portanto é natural usar o balanço de energia para um volume de controle que engloba o interior do vaso.
  • Relembre a primeira lei para um sistema aberto (ignorando energia cinética e potencial): a variação da energia interna dentro do volume de controle é igual à energia trazida pela massa que entra (entalpia por unidade de massa) mais calor trocado menos trabalho exterior. Aqui:
    • Não há calor ( Q=0) — processo adiabático.
    • O vaso é rígido (não há trabalho de fronteira W_{b}=0).
    • A energia trazida pela massa que entra já inclui o trabalho de fluxo e é dada pela entalpia específica h do fluido que entra.
  • Conceitos rápidos:
    • Entalpia específica h é definida por h = u + p v, onde u é energia interna por massa e v volume específico.
    • Para gás ideal com capacidades caloríficas constantes: u = c_v T e h = c_p T, onde c_v e c_p são calor específico a volume e pressão constantes, respectivamente.
    • A razão adiabática é \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}.

Passo 3

Escrevendo o balanço de energia apropriado e justificando as simplificações
  • Tome o interior do vaso como volume de controle. Inicialmente não há massa nem energia interna: U_{\text{inicial}}=0.
  • Depois do enchimento, há massa m no vaso com energia interna U_{\text{final}} = m u(T_{\text{f}}) = m c_v T_{\text{f}}.
  • Energia trazida pela massa que entrou = m h_{\text{in}} = m c_p T_{\text{in}} (onde T_{\text{in}} é a temperatura da fonte, \,25^{\circ}\mathrm{C}).
  • Balanço de energia (primeira lei para o processo de enchimento, sem calor e sem trabalho de fronteira): U_{\text{final}} - U_{\text{inicial}} = m\,h_{\text{in}}.Substituindo: m c_v T_{\text{f}} - 0 = m c_p T_{\text{in}}.
  • Como m aparece dos dois lados (há massa entrando e a energia final é proporcional a essa massa) podemos dividir por m. Isso é importante porque mostra que a temperatura final não dependerá de quantos quilos entraram (nem do volume do vaso) — o m cancela.

Passo 4

Isolando a temperatura final e interpretar a fórmula (aula rápida das fórmulas usadas)
  • Da equação anterior: c_v T_{\text{f}} = c_p T_{\text{in}}.Dividindo ambos os lados por c_v: T_{\text{f}} = \frac{c_p}{c_v}\,T_{\text{in}} = \gamma\,T_{\text{in}}.
  • Interpretação física: todo o entalpia (energia interna + trabalho de fluxo) que o ar traz da fonte vai para a energia interna do ar dentro do vaso. Para gás ideal com h=c_pT e u=c_vT, isso implica que a temperatura final será maior que a temperatura da fonte por um fator \gamma. Esse aquecimento ocorre apesar de não haver transferência de calor; a energia de fluxo (pressão que empurra o ar para dentro) converte-se em energia interna do ar que ficou no vaso.

Passo 5

Valores numéricos e cálculo final
  • Converter a temperatura da fonte para kelvin: T_{\text{in}} = 25^{\circ}\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Para o ar a temperatura ambiente usamos \gamma \approx 1{,}397 (valor típico aproximado para ar seco próximo de 300\\ \mathrm{K}; usar \gamma=1{,}4 dá resultado muito próximo).
  • Assim T_{\text{f}} = \gamma\,T_{\text{in}} \approx 1{,}397 \times 298{,}15 = 416{,}55\\ \mathrm{K}.
  • Converter para graus Celsius: T_{\text{f}} = 416{,}55 - 273{,}15 = 143{,}4^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Comentário sobre dependência do volume do vaso (explicação didática)
  • Na dedução a massa m do gás que entrou cancelou-se; a expressão final \,T_{\text{f}}=\gamma T_{\text{in}}\, não contém o volume do vaso. Portanto, para o modelo ideal (gás ideal, capacidades constantes, sem trocas de calor, sem perdas de energia cinética/potencial relevantes), a temperatura final não depende do volume do vaso.
  • Física simples por trás: se o vaso for maior entra mais massa, mas a energia trazida cresce na mesma proporção que a energia interna final necessária — então a temperatura obtida é a mesma.

Passo 7

Observações finais e limitações do modelo (pequena aula prática)
  • Esta conclusão usa hipóteses ideais: ar modelado como gás ideal, capacidades caloríficas constantes, não há perdas (por exemplo atrito, dissipação de energia cinética, aquecimento da parede do vaso). Em situações reais, pequenos desvios podem ocorrer (paredes absorvendo calor, efeitos do escoamento viscoso, aquecimento local etc.), mas na prática para um problema de termodinâmica de prova essa modelagem é a habitual e justifica o resultado obtido.
  • Se tivesse transferência de calor com as paredes, ou se fosse importante a energia cinética do jato de entrada, o resultado mudaria. Mas com as hipóteses dadas, o resultado é robusto.

Resposta

\,143{,}4^\circ\mathrm{C}
\text{Não}ã

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