[50] Para pequenas variações de temperatura, o modelo para a dilatação de uma barra de metal homogênea submetida à mudanças de temperatura é
, onde
é o comprimento da barra quando a temperatura é
é o comprimento inicial da barra na temperatura
e
é uma constante que depende do tipo de metal.
a) Verifique se
é função linear de
.
b) Supondo que a barra, inicialmente mede 100 cm a uma temperatura de
e que para o metal com que foi feita
, esboce o gráfico que expresse o comprimento da barra em função da temperatura.
a) Verifique se
b) Supondo que a barra, inicialmente mede 100 cm a uma temperatura de
Passo 1
O enunciado dá a relação
onde as variáveis significam:
As perguntas são:
a) Verificar se é função linear de
.
b) Dado cm em
e
, esboçar o gráfico de
em função de
.
a) Verificar se
b) Dado
Passo 2
O que significa "ser função linear de
"? Uma função é linear (no sentido afim usado aqui) quando pode ser escrita na forma
onde
é a inclinação (slope) e
é o termo independente (intercepto). Explicando os termos:
diz quanto a saída muda quando
aumenta de uma unidade (a unidade aqui será cm por grau Celsius) e
é o valor da função quando
.
Passo 3
Vamos manipular a fórmula dada para colocar
explicitamente em função de
.
Começamos por:
Começamos por:
Expandindo o lado direito:
Somando
em ambos os lados:
Portanto
pode ser escrita na forma
com
Concluímos que, algebraicamente,
é função linear de
(é uma reta).
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente
e
com os dados dados:
cm,
,
.
Calculando a inclinação:
Interpretação prática: para cada aumento de
o comprimento cresce
cm, que é igual a
mm.
Calculando o termo independente:
Logo a equação explícita é
Passo 5
Vamos verificar com pontos conhecidos:
Calcule :
Calcule
o que confere com o dado do enunciado.
Calcule mais alguns pontos úteis para esboçar o gráfico:
Observação: a variação de comprimento é muito pequena no intervalo de temperatura, por isso a reta aparece quase horizontal.
Passo 6
Instruções para esboçar o gráfico (faça assim na folha):
- Eixos: eixo horizontal para
(em ), eixo vertical para (em cm). - Marque pelo menos os pontos
, e . - Escolha uma escala vertical que mostre a pequena variação: por exemplo, eixo
de a com marcas a cada cm; eixo de a com marcas a cada . - Trace a reta que passa por esses pontos. Note que a reta tem inclinação positiva muito pequena (
cm/°C), portanto visualmente será quase plana, subindo levemente para a direita. - Rotule a reta com a equação
.
Passo 7
Resumo e dica rápida para prova: quando ver uma relação do tipo
, isole
para obter a forma afim
. Identifique
(a inclinação) e calcule
. Sempre verifique com o ponto dado para checar cálculos. Força — você já tem a reta na mão!
Resposta
a) Sim.
é função linear de
; em forma geral
.
b) Equação da reta: (comprimento em cm,
em
); pontos úteis:
,
,
.
b) Equação da reta: