Entre 500 pessoas pelo menos quantas nasceram no mesmo mês?

Passo 1

O enunciado pergunta: entre 500 pessoas, pelo menos quantas nasceram no mesmo mês?
Informações dadas: temos 500 pessoas e o ano tem 12 meses. Não há outras restrições (por exemplo, datas específicas), apenas a contagem de pessoas e de meses.

Passo 2

Vamos entender a ideia que precisamos usar (explicação didática, tipo “princípio da casa dos pombos” numa linguagem leve). Imagine que cada mês é uma “caixa” e cada pessoa é uma “bola” que vai entrar numa dessas caixas conforme o mês de nascimento. Se quisermos garantir que em alguma caixa haja muitas bolas, a conta básica é dividir o número total de bolas pelo número de caixas: isso nos dá a média de bolas por caixa. Mas para garantir que exista pelo menos uma caixa com pelo menos um certo número inteiro de bolas, usamos o arredondamento para cima (teto, ceiling). Em termos práticos, se colocarmos no máximo m-1 bolas em cada caixa, o número máximo total que caberia é k\cdot(m-1). Se esse total for menor que o número de bolas real, então alguma caixa precisa ter pelo menos m bolas.

Passo 3

Agora aplicamos os números do problema. Temos n=500 pessoas e k=12 meses. Vamos dividir:
\frac{500}{12}=41{,}6\overline{6}\ldots
O inteiro imediatamente acima (o teto) é
\left\lceil\frac{500}{12}\right\rceil.
Outro jeito, verificando com multiplicação inteira: se cada mês tivesse no máximo 41 pessoas, o total máximo seria
12\cdot41=492.
Mas 492<500, ou seja, mesmo preenchendo todos os meses com 41 pessoas ainda ficam 500-492=8 pessoas sem mês — impossível. Logo, algum mês precisa ter mais que 41 pessoas; portanto pelo menos 42.

Passo 4

Resumo da técnica para a prova (como fazer rápido): dividir o número de pessoas pelo número de meses e arredondar para cima, ou fazer o teste rápido k\cdot\lfloor n/k\rfloor e ver se sobra gente. Aqui isso dá diretamente a resposta.

Resposta

42 pessoas.

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