1.51
Um pequeno objeto se desloca ortogonalmente a um espelho plano com uma velocidade v em relação a um observador fixo na Terra. Qual é o módulo da velocidade da imagem em relação ao objeto?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Informações dadas:
    • Um objeto pequeno desloca-se ortogonalmente a um espelho plano (ou seja, ao longo da normal ao espelho).
    • A velocidade do objeto em relação a um observador fixo na Terra tem módulo v.
    • O espelho está fixo em relação ao observador (assumir que o espelho é um referencial inercial fixo).
  • O que se pede:
    • O módulo da velocidade da imagem (formada pelo espelho plano) em relação ao objeto.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas simples para modelar a situação:
  • Colocar o plano do espelho em x=0.
  • Tomar o lado onde está o objeto como x>0. A posição do objeto no tempo será x_{\text{obj}}(t)=d(t)>0.
  • Para um espelho plano fixo, a imagem de um ponto fica simetricamente do outro lado do espelho à mesma distância. Assim a posição da imagem é
x_{\text{img}}(t)=-d(t).
Aqui d(t) é a distância do objeto ao espelho em cada instante.

Passo 3

Explicar por que a posição da imagem é x_{\text{img}}(t)=-d(t):
  • Para um espelho plano, para cada raio refletido o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão; geometricamente isso faz com que o lugar geométrico das imagens seja a reflexão especular do objeto em relação ao plano do espelho.
  • Consequentemente, se o objeto está a uma distância d na frente do espelho, a imagem aparece a distância d atrás do espelho, portanto as coordenadas são espelhadas em relação a x=0.

Passo 4

Calcular as velocidades (relativas ao observador fixo) diferenciando as posições:
  • Velocidade do objeto:
v_{\text{obj}}(t)=\frac{d}{dt}x_{\text{obj}}(t)=\frac{d}{dt}d(t)=\dot d(t).
O enunciado afirma que o módulo desta velocidade é |\dot d(t)|=v.
  • Velocidade da imagem:
v_{\text{img}}(t)=\frac{d}{dt}x_{\text{img}}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-d(t)\bigr)=-\dot d(t).
Note que o módulo |v_{\text{img}}|=|\dot d(t)|=v: a imagem move-se com a mesma velocidade (em módulo) que o objeto, porém com sentido oposto em relação ao espelho refletido.

Passo 5

Encontrar a velocidade relativa da imagem em relação ao objeto:
  • Em uma dimensão, a velocidade relativa (imagem em relação ao objeto) é
v_{\text{img/obj}}(t)=v_{\text{img}}(t)-v_{\text{obj}}(t)=-\dot d(t)-\dot d(t)=-2\dot d(t).
  • O módulo desta velocidade relativa é
\bigl|v_{\text{img/obj}}(t)\bigr|=2\,|\dot d(t)|,
e como |\dot d(t)|=v (dado do enunciado), segue que o módulo da velocidade da imagem em relação ao objeto é 2v.

Passo 6

Intuição final e exemplo numérico:
  • A distância entre objeto e imagem é L(t)=x_{\text{obj}}(t)-x_{\text{img}}(t)=d(t)-(-d(t))=2d(t). Como d(t) varia com velocidade \dot d(t), a taxa de variação de L é
\dot L(t)=2\dot d(t),
portanto o fechamento relativo (ou afastamento relativo) entre objeto e imagem ocorre ao dobro da velocidade do objeto. Exemplo prático: se o objeto se aproxima do espelho a 1{,}0\\ \mathrm{m/s}, a imagem também “se aproxima” à vista a 1{,}0\\ \mathrm{m/s} do outro lado, então a velocidade de aproximação entre imagem e objeto é 2{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

2v