52 - Para o amplificador com JFET em cascata do Ex. 51 considere JFETs idênticos com I_{\text {DSS }}=8 \mathrm{~mA} e V_{P}=-4,5 \mathrm{~V}, calcule o ganho de tensão de cada estágio, o ganho total do amplificador e a tensão de saída V_{o}.

Passo 1

Enunciado recebido: para o amplificador com JFET em cascata do Ex. 51, os JFETs são idênticos com I_{DSS}=8\\ \mathrm{mA} e V_P=-4{,}5\\ \mathrm{V}. Pede-se:
  1. O ganho de tensão de cada estágio.
  2. O ganho total do amplificador.
  3. A tensão de saída V_o.
Informações explicitamente fornecidas pelo enunciado:
I_{DSS}=8\\ \mathrm{mA},\qquad V_P=-4{,}5\\ \mathrm{V}.
Informações que não foram fornecidas (e que são necessárias para calcular valores numéricos):
  • Valores dos resistores (por exemplo, resistores de dreno R_D, resistores de fonte R_S se houver, resistores de polarização de porta, resistor de carga R_L, etc.);
  • Tensão de alimentação V_{DD};
  • Se as resistências de fonte estão bypassadas por capacitores (o que altera o ganho);
  • Se as etapas são comuns-fonte simples ou se alguma é cascode (a topologia muda a fórmula do ganho);
  • Amplitude do sinal de entrada v_{in} (necessária para calcular V_o numericamente).
Conclusão (importante): sem o diagrama/circuito e os valores acima, não é possível obter os resultados numéricos pedidos. Vou, no entanto, explicar passo a passo e de forma didática como calcular cada coisa assim que esses dados estiverem disponíveis — ou para que você possa aplicar imediatamente ao circuito do Ex.51 quando tiver os valores.

Passo 2

Como primeiro bloco de teoria: como determinar o ponto de polarização (corrente de dreno \,I_D) do JFET a partir da equação de Shockley. Essa é a base porque o ganho depende de I_D.
Equação de Shockley:
I_D = I_{DSS}\left(1-\frac{V_{GS}}{V_P}\right)^2.
O que cada símbolo significa:
  • I_D: corrente de dreno em regime contínuo (DC).
  • I_{DSS}: corrente de dreno quando V_{GS}=0 (dada no enunciado).
  • V_{GS}: tensão entre porta e fonte (depende da polarização do circuito).
  • V_P: tensão de pinchoff (aqui V_P=-4{,}5\\ \mathrm{V}).
Como usar essa equação na prática:
  • Determine a tensão de porta V_G e a tensão de fonte V_S pelo divisor de polarização ou pela resistência de fonte: V_{GS}=V_G-V_S.
  • Substitua V_{GS} na equação de Shockley e resolva para I_D. Em muitas topologias (autopolarização com resistor de fonte R_S e porta aterrada), V_{GS}=-I_D R_S, levando a uma equação não-linear em I_D:
I_D = I_{DSS}\left(1+\frac{I_D R_S}{V_P}\right)^2,
que deve ser resolvida (analiticamente por transformação quadrática ou numericamente).
Dica prática para resolver a equação (autopolarização):
  • Defina s=\sqrt{I_D}. A equação acima pode ser manipulada até uma forma quadrática em s. Resolva a quadrática, escolha a raiz física (positiva), depois calcule I_D=s^2.

Passo 3

Cálculo do transcondutância \,g_m a partir do ponto de polarização: isso liga o ponto DC ao ganho AC.
Derivando Shockley:
g_m = \frac{dI_D}{dV_{GS}} = \frac{2 I_{DSS}}{|V_P|}\left(1-\frac{V_{GS}}{V_P}\right).
Explicação das formas alternativas (úteis na prática):
  • Definindo \theta\equiv 1-\dfrac{V_{GS}}{V_P}, temos I_D=I_{DSS}\theta^2 e g_m=\dfrac{2I_{DSS}}{|V_P|}\theta.
  • Em termos de I_D e I_{DSS}: como \theta=\sqrt{I_D/I_{DSS}}, obtemos a fórmula prática
g_m = \frac{2}{|V_P|}\sqrt{I_{DSS}\,I_D}.
O que isso significa: depois de encontrar I_D no Passo 2, basta aplicar essa fórmula para obter a g_m do JFET naquele ponto de operação.

Passo 4

Modelo small-signal e fórmula do ganho de tensão de um estágio comum-fonte (caso mais comum em exercícios): explico as duas situações importantes — fonte bypassada (máximo ganho) e fonte não-bypassada (degeneração de fonte).
Pequeno-modelo: o JFET no AC é representado por um gerador de corrente controlado g_m v_{gs} entre dreno e fonte, em paralelo com r_o (resistência de saída intrínseca, que às vezes é desprezada se for muito grande). Os componentes externos importantes são R_D (resistor de dreno) e R_S (resistor de fonte), e a carga R_L se estiver presente.
  1. Fonte bypassada (capacitor em curto para sinal): a resistência do emissor/fonte fica desprezada no AC. Ganho aproximado:
A_v \approx -g_m \left(R_D \parallel R_L \right).
Explicando: a variação de corrente de dreno é g_m v_{gs}; a tensão no dreno é essa corrente multiplicada pela resistência vista no dreno; o sinal fica invertido (por isso o sinal negativo).
  1. Fonte não-bypassada (degeneração presente): a presença de R_S em série com a fonte reduz o ganho — isso é degeneração. Aproximação útil (desprezando r_o):
A_v \approx -\frac{g_m (R_D \parallel R_L)}{1 + g_m R_S}.
Intuição: g_m R_S cria realimentação local negativa que reduz o ganho.
Observações sobre r_o:
  • Se a resistência intrínseca r_o não for desprezível, a resistência efetiva no dreno é (R_D \parallel R_L \parallel r_o) e aparece uma correção no ganho. Em muitos exercícios elementares r_o é grande e é negligenciado.

Passo 5

Ganho total em cascata de duas (ou mais) etapas: regra prática e detalhes de carregamento.
Regra básica (quando o acoplamento e as impedâncias permitem):
A_{v,\mathrm{tot}} \approx A_{v1}\times A_{v2}\times \cdots
Ou seja, o ganho total é o produto dos ganhos de cada estágio, desde que:
  • As etapas sejam acopladas por capacitor (isolando DC) e
  • A impedância de saída da etapa anterior seja muito menor que a impedância de entrada da etapa seguinte (ou seja, carga da próxima etapa não atue como divisor significativo).
Se a segunda etapa carregar fortemente a primeira, então o ganho da primeira fica reduzido porque o R_D efetivo da primeira fica em paralelo com a resistência de entrada da segunda. Portanto, passo prático:
  1. Calcule a resistência de entrada da etapa 2 (normalmente cerca de R_G em paralelo com a resistência de entrada do JFET ao gate — que costuma ser muito alta).
  2. Calcule R_D^{\mathrm{efetivo}} = R_D \parallel R_{in,2} para a etapa 1 e reavalie A_{v1}.
  3. Multiplique os ganhos ajustados para obter A_{v,\mathrm{tot}}.
Cálculo de tensão de saída:
V_o = A_{v,\mathrm{tot}}\cdot v_{in},
onde v_{in} é a amplitude eficaz/instantânea do sinal na entrada (dependendo do que se queira calcular).

Passo 6

Receita passo a passo, pronta para aplicar ao circuito do Ex.51 (quando você tiver o circuito/valores):
  1. Identifique topologia de cada estágio (CS com fonte bypassada? com degeneração? cascode?).
  2. Para cada JFET: escreva a equação de Shockley \;I_D = I_{DSS}\left(1-\dfrac{V_{GS}}{V_P}\right)^2\; usando a relação entre V_{GS} e as tensões/resistores do circuito (por exemplo, V_{GS}=V_G-V_S e em autopolarização V_G=0,\\ V_S=I_D R_S). Resolva para I_D.
  3. Verifique que cada JFET opera em região de saturação (condição prática: V_{DS} > V_{GS} - V_P ou pelo circuito).
  4. Calcule g_m usando \;g_m=\dfrac{2}{|V_P|}\sqrt{I_{DSS}\,I_D}\; (ou a forma em V_{GS}).
  5. Determine resistências vistas no dreno de cada estágio ( R_D \parallel R_L \parallel r_o etc.) e se há carga da etapa seguinte que reduza R_D.
  6. Use:
    • Fonte bypassada: A_v\approx -g_m (R_D\parallel R_L).
    • Fonte não-bypassada: A_v\approx -\dfrac{g_m (R_D\parallel R_L)}{1+g_m R_S}.
  7. Ajuste cada ganho pela interação entre estágios (carregamento) se necessário.
  8. Multiplique os ganhos das etapas para obter A_{v,\mathrm{tot}} e calcule V_o=A_{v,\mathrm{tot}}\,v_{in}.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar números com uma situação típica — NÃO é o circuito do Ex.51):
Suponha, só como ilustração, que um estágio tem R_D=10\\ \mathrm{k\Omega}, R_S=0 (bypassado), e o ponto de operação deu I_D=2\\ \mathrm{mA}. Com I_{DSS}=8\\ \mathrm{mA} e V_P=-4{,}5\\ \mathrm{V}:
  • Calcule g_m por g_m=\frac{2}{|V_P|}\sqrt{I_{DSS}I_D}=\frac{2}{4{,}5}\sqrt{8\cdot 2}\\ \mathrm{mA}^{1/2}\\ \text{(converta as unidades)}.
  • Ganho aproximado: A_v\approx -g_m R_D.
Observação: isso é só um exemplo didático. Para o Ex.51 você deve aplicar as fórmulas com os resistores e tensões reais do circuito.

Passo 8

Resumo e próxima ação prática:
  • Eu não inventei valores do circuito porque isso mudaria completamente os resultados.
  • Se você me enviar o enunciado/diagrama do Ex.51 (ou os valores: R_D, R_S, R_G, R_L, V_{DD}, se há bypass em R_S, e amplitude de v_{in}), eu aplico imediatamente este procedimento passo a passo e calculo numericamente o ganho de cada estágio, o ganho total e V_o.

Resposta

Ganho de tensão de cada estágio: não é possível calcular numericamente sem os valores dos resistores, da alimentação e da topologia do circuito (dados do Ex.51).
Ganho total do amplificador: não é possível calcular numericamente sem os valores dos componentes e informação sobre carregamento entre estágios.
Tensão de saída V_o: não é possível calcular numericamente sem o ganho total e a amplitude do sinal de entrada v_{in}.

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