6.58. A alavanca de controle é usada em um cortador de grama de empurrar. Determine a tensão de flexão máxima na seção a-a da alavanca se uma força de 100 N for aplicada ao cabo. A alavanca é suportada por um pino em A e um cabo em B. A seção a-a é quadrada, 6 mm por 6 mm .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão de flexão máxima na seção a\textrm{-}a da alavanca quando uma força de 100\\ \text{N} é aplicada no cabo (no pomo).
Informações relevantes fornecidas (peguei estes valores da imagem):
  • Força aplicada: 100\\ \text{N} (direção vertical para baixo).
  • Comprimento do trecho externo do braço (do cotovelo até o pomo): 50\\ \text{mm}.
  • Distância entre a seção a\textrm{-}a e o cotovelo (trecho interno): 25\\ \text{mm}.
  • Ângulo do trecho externo em relação à horizontal: 60^\circ.
  • Seção reta em a\textrm{-}a é quadrada com lado 6\\ \text{mm} (logo 6\\ \text{mm}\times 6\\ \text{mm}).
  • Outros números visíveis (não necessários para o cálculo direto da tensão de flexão): 45\\ \text{mm} entre A e B (marcado na figura).
Resumo objetivo: calcular a tensão máxima de flexão \sigma_{\max} na seção a\textrm{-}a, devido ao momento fletor naquele ponto produzido pela força de 100\\ \text{N}.

Passo 2

Determinar o braço de momento efetivo (distância perpendicular entre a linha de ação da força e a seção a\textrm{-}a).
Raciocínio geométrio (usando os valores da imagem):
  • A força é vertical, então o momento em a\textrm{-}a é M = F \times d, onde d é a distância horizontal (perpendicular à força) entre a força e a seção.
  • O trecho exterior tem comprimento 50\\ \text{mm} e faz ângulo de 60^\circ com a horizontal. A projeção horizontal desse trecho é \;50\cos60^\circ.
  • Há também a distância horizontal do cotovelo até a seção a\textrm{-}a, que a figura mostra como 25\\ \text{mm}.
  • Portanto a distância horizontal total (braço de momento) é
d = 25\\ \text{mm} + 50\cos60^\circ.
Calcule \cos60^\circ:
\cos60^\circ = \tfrac{1}{2}.
Logo
d = 25\\ \text{mm} + 50\cdot\tfrac{1}{2} = 25\\ \text{mm} + 25\\ \text{mm} = 50\\ \text{mm}.

Passo 3

Calcular o momento fletor na seção a\textrm{-}a.
Usando M = F\cdot d:
M = 100\\ \text{N} \times 50\\ \text{mm} = 5000\\ \text{N}\cdot\text{mm} = 5{,}000\\ \text{Nmm}.
(Equivalente a 5{,}0\\ \text{N}\cdot\text{m}, mas trabalhamos em N·mm para compatibilidade com mm na seção.)

Passo 4

Apresentar a fórmula da tensão de flexão e explicar cada termo.
Para flexão simples, a tensão normal de flexão na fibra mais externa é dada por
\sigma = \frac{M\,c}{I},
onde:
  • M é o momento fletor na seção (unidade: \text{N}\cdot\text{mm}),
  • c é a distância da linha neutra até a fibra mais distante (unidade: \text{mm}),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidade: \text{mm}^4),
  • \sigma resulta em \text{N/mm}^2, que é \text{MPa} quando dividido por 10^6 (ou diretamente interpretado como \text{N/mm}^2).
Interpretação física rápida e amigável: o momento tende a “curvar” a peça; as fibras mais externas (a c de distância do centro) experimentam a maior tensão, proporcional ao momento e à distância c, e inversamente proporcional à “rigidez geométrica” I da seção.

Passo 5

Calcular I (momento de inércia) e c para a seção quadrada.
Para uma seção quadrada de lado a, o momento de inércia em relação a um eixo centroidal paralelo a um lado é
I = \frac{a^4}{12}.
Aqui a=6\\ \text{mm}, então
I = \frac{6^4}{12} = \frac{1296}{12} = 108\\ \text{mm}^4.
A distância da linha neutra até a fibra mais externa é metade do lado:
c = \frac{a}{2} = \frac{6\\ \text{mm}}{2} = 3\\ \text{mm}.

Passo 6

Calcular a tensão máxima de flexão usando \sigma_{\max} = \dfrac{M c}{I}.
Substituindo os valores:
\sigma_{\max} = \frac{(5000\\ \text{Nmm})(3\\ \text{mm})}{108\\ \text{mm}^4} = \frac{15000}{108}\\ \text{N/mm}^2 \approx 138{,}888\ldots\\ \text{N/mm}^2.
Convertendo para unidades usuais:
\sigma_{\max} \approx 138{,}9\\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • A tensão de flexão máxima na seção a\textrm{-}a é aproximadamente 138{,}9\\ \text{MPa}.
  • A ordem de grandeza faz sentido para um braço fino de 6\\ \text{mm} submetido a 100\\ \text{N} com braço efetivo de 50\\ \text{mm}.
Força final de incentivo: dá para fazer esses passos na prova — identificar o braço do momento, calcular M, escrever \sigma=M c/I, obter I da seção e substituir. Boa!

Resposta

\sigma_{\max}\approx 138{,}9\\ \mathrm{MPa}

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