3a Questão:
2.45 Sabendo que \alpha=50^{\circ} e que a haste AC exerce no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC, determine.
b) a tração no cabo B C.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tração no cabo BC sabendo que \alpha=50^\circ e que a haste AC exerce no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC.
Informações relevantes dadas (peguei estes dados da figura enviada):
  • \alpha = 50^\circ (ângulo entre a parede vertical e o cabo BC no ponto B).
  • A haste AC exerce no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC (direção conhecida, magnitude desconhecida).
  • Na figura, a haste AC forma um ângulo de 35^\circ com a parede vertical no ponto A. Ou seja, a direção de AC faz 35^\circ com a vertical.
  • Há uma força externa de 1800\\ \text{N} aplicada em C, dirigida para baixo e à direita, fazendo 25^\circ com a vertical (conforme marcado na figura).
  • O cabo BC é um cabo (tração) que puxa o ponto C na direção de B; sua tração T é desconhecida e age ao longo da linha BC em direção a B.
O objetivo neste item é encontrar o valor numérico de T.

Passo 2

Plano de ataque (o método): usar equilíbrio de forças no ponto C. Explicando a ideia de forma simples: o pino C é uma partícula onde se encontram três forças (a tração T no cabo BC, a força da haste F dirigida ao longo de AC e a força externa de 1800\\ \text{N}). Para uma partícula em equilíbrio estático vale que a soma vetorial dessas forças é zero:
\sum \vec{F} = \vec{0}.
Isso gera duas equações escalares (componentes x e y) que permitem resolver as duas incógnitas: a tração T e a magnitude F da força da haste (aqui F pode sair positiva ou negativa; o sinal indica se a direção assumida estava correta).
Para aplicar isso precisamos escrever cada força em componentes x (horizontal, positiva para a direita) e y (vertical, positiva para cima). Vou construir versores (vetores unitários) nas direções relevantes e projetar as forças.
Definições de direções (usando os ângulos da figura):
  • Direção da tração no cabo BC: o cabo faz \alpha=50^\circ em relação à vertical. A força de tração no ponto C puxa C na direção de B, isto é, para cima e para a esquerda. O versor nessa direção é
\mathbf{u}_{BC} = \bigl(-\sin\alpha,\;\cos\alpha\bigr).
  • Direção da força da haste AC: a haste faz 35^\circ com a vertical, indo de A para C na direção acima e à direita; portanto, a direção de A\to C é \bigl(\sin35^\circ,\cos35^\circ\bigr). Como a força da haste no pino C foi dita "dirigida ao longo da linha AC", vou assumir inicialmente que essa força no ponto C está dirigida do ponto C para A (ou seja, ao longo de CA); isso corresponde ao versor
\mathbf{u}_{AC} = \bigl(-\sin35^\circ,\;-\cos35^\circ\bigr).
(Se o sinal final de F sair negativo, isso significa que a direção real é oposta à assumida.)
  • Força externa conhecida (força de 1800\\ \text{N} em C): ela está dirigida para baixo e para a direita fazendo 25^\circ com a vertical para a direita. Seu versor é
\mathbf{u}_P = \bigl(\sin25^\circ,\;-\cos25^\circ\bigr),
e a força é \vec{P}=1800\,\mathbf{u}_P.
Agora escrevemos a soma vetorial nula:
T\,\mathbf{u}_{BC} + F\,\mathbf{u}_{AC} + 1800\,\mathbf{u}_P = \mathbf{0}.
Iremos projetar nas componentes x e y e resolver o sistema linear para T e F.

Passo 3

Calcular numericamente os senos e cossenos necessários (valores aproximados suficientes para cálculo manual típico):
\sin50^\circ \approx 0{,}7660,\qquad \cos50^\circ \approx 0{,}6428,
\sin35^\circ \approx 0{,}5736,\qquad \cos35^\circ \approx 0{,}8192,
\sin25^\circ \approx 0{,}4226,\qquad \cos25^\circ \approx 0{,}9063.
Escrever as componentes de cada força:
  • Tração T no cabo BC:
\vec{T} = T\bigl(-\sin50^\circ,\;\cos50^\circ\bigr) = T\bigl(-0{,}7660,\;0{,}6428\bigr).
  • Força F da haste AC (assumida no sentido C\to A):
\vec{F} = F\bigl(-\sin35^\circ,\;-\cos35^\circ\bigr) = F\bigl(-0{,}5736,\;-0{,}8192\bigr).
  • Força externa conhecida:
\vec{P} = 1800\bigl(\sin25^\circ,\;-\cos25^\circ\bigr) = \bigl(1800\cdot0{,}4226,\;1800\cdot(-0{,}9063)\bigr) = \bigl(760{,}68,\;-1631{,}34\bigr)\\ \text{N}.
Projeto em x e y a condição \vec{T}+\vec{F}+\vec{P}=\vec{0}:
Componente x:
-0{,}7660\,T - 0{,}5736\,F + 760{,}68 = 0.
Rearranjando:
0{,}7660\,T + 0{,}5736\,F = 760{,}68. \tag{1}
Componente y:
0{,}6428\,T - 0{,}8192\,F -1631{,}34 = 0.
Rearranjando:
0{,}6428\,T - 0{,}8192\,F = 1631{,}34. \tag{2}
Temos um sistema linear de duas equações (1) e (2) nas incógnitas T e F.

Passo 4

Resolver o sistema. Da equação (1) isolamos F:
0{,}5736\,F = 760{,}68 - 0{,}7660\,T \quad\Rightarrow\quad F = \frac{760{,}68 - 0{,}7660\,T}{0{,}5736}.
Substituindo em (2):
0{,}6428\,T - 0{,}8192\left(\frac{760{,}68 - 0{,}7660\,T}{0{,}5736}\right) = 1631{,}34.
Calcular o coeficiente:
\frac{0{,}8192}{0{,}5736}\approx 1{,}4287.
Então a equação fica
0{,}6428\,T - 1{,}4287\,(760{,}68 - 0{,}7660\,T) = 1631{,}34.
Multiplicando e agrupando termos:
0{,}6428\,T - 1{,}4287\cdot760{,}68 + 1{,}4287\cdot0{,}7660\,T = 1631{,}34.
(0{,}6428 + 1{,}4287\cdot0{,}7660)\,T - 1{,}4287\cdot760{,}68 = 1631{,}34.
Calcular numericamente:
1{,}4287\cdot0{,}7660 \approx 1{,}0930,
0{,}6428 + 1{,}0930 = 1{,}7358,
1{,}4287\cdot760{,}68 \approx 1086{,}80.
Logo
1{,}7358\,T - 1086{,}80 = 1631{,}34 \quad\Rightarrow\quad 1{,}7358\,T = 2718{,}14.
Portanto
T = \frac{2718{,}14}{1{,}7358} \approx 1566{,}7\\ \text{N}.
Arredondando de forma prática para a precisão dos dados do enunciado:
T \approx 1{,}567\times10^{3}\\ \text{N} = 1567\\ \text{N}.
(Vale notar: substituindo T numa das equações obtém-se F\approx -765{,}7\\ \text{N}; o sinal negativo indica que a força da haste tem sentido oposto ao assumido — isto confirma que a haste está tracionando/empurrando no sentido inverso ao suposto — mas isso não altera o valor da tração no cabo BC.)

Passo 5

Resumo didático-final: montou-se o equilíbrio vetorial no pino C, projetou-se em x e y e resolveu-se o sistema linear para a tração T. Esse é o procedimento padrão em problemas de nós/pendurais: escrever forças segundo direções conhecidas (usar senos e cossenos para componentes) e aplicar \sum F_x=0, \sum F_y=0.

Resposta

T_{BC}=1{,}567\times10^{3}\\ \text{N}

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