2.6B Use a Estimativa do Erro para aproximar a soma da série com quatro casas decimais e com erro menor do que E=5 \times 10^{-1}. Diga quando a aproximação é por falta ou por excesso:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}
com quatro casas decimais, usando a estimativa de erro do critério de Leibniz (séries alternadas). Vamos usar o fato de que, se a_n é decrescente a zero, então o erro ao parar em N termos satisfaz
|R_N| \le a_{N+1}.

Passo 2

Identificamos a_n = \tfrac{1}{\sqrt{n}}. Vê-se que \{a_n\} é decrescente e \lim_{n\to\infty}a_n=0, logo podemos aplicar o Teorema da Série Alternada.

Passo 3

Queremos N tal que
a_{N+1} = \frac{1}{\sqrt{N+1}} < 5\times 10^{-1}.
Isto é equivalente a
\sqrt{N+1} > 2 \quad\Longrightarrow\quad N+1 > 4 \quad\Longrightarrow\quad N \ge 4.

Passo 4

Escolhemos N=4. Calculamos a soma parcial
s_4 = \sum_{n=1}^{4} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2}.
Numericamente,
s_4 \approx 1 - 0,7071 + 0,5774 - 0,5000 = 0,3703.

Passo 5

O termo seguinte é
\frac{(-1)^{5+1}}{\sqrt{5}} = +\frac{1}{\sqrt{5}}\approx+0,4472,
logo o resto R_4 é positivo e satisfaz |R_4|\le a_5<0,5. Como R_4>0, temos s_4< soma exata, ou seja, a aproximação é por falta.

Resposta

Aproximação: 0,3703, por falta.

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