[7.7] Na seção 7.4, suponha que o o motor
execute um ciclo irreversível, e assuma que
. Mostre que assumir
leva a um resultado inconsistente com a irreversibilidade de
, e que, portanto
.
Passo 1
A questão fala de dois motores térmicos entre reservatórios a temperaturas T₁ (quente) e T₂ (frio): o motor I, que é irreversível, e o motor de Carnot R, que é reversível. A matéria central é a segunda lei da termodinâmica na forma de produção de entropia e a definição de eficiência térmica η = W/Q₁.
Passo 2
Para qualquer ciclo térmico, a variação total de entropia do universo é não negativa. Como o motor I recebe calor Q₁^{(I)} de T₁ e rejeita Q₂^{(I)} em T₂, temos:
Passo 3
A eficiência de um motor térmico é
. Para o motor de Carnot reversível R vale
Passo 4
Supondo, por absurdo, que o motor irreversível I tenha a mesma eficiência, isto é
, igualamos:
Passo 5
Da relação acima segue
Passo 6
Substituindo em
dá
o que contradiz a condição de irreversibilidade (para a qual
Passo 7
Logo, pela contradição, não pode ocorrer
, devendo-se ter
Resposta
η_I ≤ η_R