[7.7] Na seção 7.4, suponha que o o motor I execute um ciclo irreversível, e assuma que etaI=etaR. Mostre que assumir etaI=etaR leva a um resultado inconsistente com a irreversibilidade de I, e que, portanto etaI <= etaR.

Passo 1

A questão fala de dois motores térmicos entre reservatórios a temperaturas T₁ (quente) e T₂ (frio): o motor I, que é irreversível, e o motor de Carnot R, que é reversível. A matéria central é a segunda lei da termodinâmica na forma de produção de entropia e a definição de eficiência térmica η = W/Q₁.

Passo 2

Para qualquer ciclo térmico, a variação total de entropia do universo é não negativa. Como o motor I recebe calor Q₁^{(I)} de T₁ e rejeita Q₂^{(I)} em T₂, temos:
De 0

Passo 3

A eficiência de um motor térmico é eta = 1 - Q2Q1. Para o motor de Carnot reversível R vale
etaR = 1 - T2T1

Passo 4

Supondo, por absurdo, que o motor irreversível I tenha a mesma eficiência, isto é etaI = etaR, igualamos:
1 - Q2^(I)Q1^(I) = 1 - T2T1 Rightarrow Q2^(I)Q1^(I) = T2T1

Passo 5

Da relação acima segue
Q2^(I) = Q1^(I)T2T1

Passo 6

Substituindo em De
De
o que contradiz a condição de irreversibilidade (para a qual De0).

Passo 7

Logo, pela contradição, não pode ocorrer etaI=etaR, devendo-se ter

Resposta

η_I ≤ η_R

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