4.71 Determine a massa e o ponto da placa do Probo 4.68 onde deve ser colocado o bloco de menor massa para que as forças de tração nos três fios sejam iguais.
Passo 1
Beleza, aqui o que a questão 4.71 está pedindo (lembrando o que rolou na Probo 4.68):
– Temos uma placa uniforme de massa M e comprimento L, pendurada por três fios: dois nas extremidades e um fio extra (onde a gente vai pendurar o bloco).
– Queremos escolher a massa do bloco, m, e o ponto x (distância a partir da extremidade esquerda da placa) onde ele deve ficar, de modo que as três tensões nos fios fiquem iguais.
Conteúdo de matéria: equilíbrio de corpo rígido (∑F = 0 e ∑τ = 0).
O que vamos precisar:
– Temos uma placa uniforme de massa M e comprimento L, pendurada por três fios: dois nas extremidades e um fio extra (onde a gente vai pendurar o bloco).
– Queremos escolher a massa do bloco, m, e o ponto x (distância a partir da extremidade esquerda da placa) onde ele deve ficar, de modo que as três tensões nos fios fiquem iguais.
Conteúdo de matéria: equilíbrio de corpo rígido (∑F = 0 e ∑τ = 0).
O que vamos precisar:
- Equilíbrio de forças verticais: soma das tensões = peso total.
- Equilíbrio de torques (momento) em dois pivôs diferentes, para garantir que não há tendência de girar.
Passo 2
Definindo variáveis:
M = massa da placa
L = comprimento da placa
m = massa do bloco (o que vamos achar)
x = distância entre a extremidade esquerda da placa e o ponto de aplicação do fio do bloco
T = tensão em cada um dos três fios (queremos T1 = T2 = T3 = T)
M = massa da placa
L = comprimento da placa
m = massa do bloco (o que vamos achar)
x = distância entre a extremidade esquerda da placa e o ponto de aplicação do fio do bloco
T = tensão em cada um dos três fios (queremos T1 = T2 = T3 = T)
- ∑F vertical = 0
Como há três fios puxando para cima, e a placa + bloco puxando para baixo, fica
3 T − (M + m) g = 0
⇒ T = (M + m) g / 3
Passo 3
- Equilíbrio de torques: usamos como pivô a extremidade esquerda (x = 0).
– Forças “subindo”: as atenções são as tensões nos fios da direita.
• T no fio da extremidade direita, braço de alavanca L → torque +T·L
• T no fio do bloco, braço de alavanca x → torque +T·x
– Forças “descendo”: peso da placa (M g) atuando no centro (L/2) → torque −M g·(L/2), e peso do bloco (m g) no ponto x → torque −m g·x
Equação de torques:
T·L + T·x − M g·(L/2) − m g·x = 0
T·L + T·x − M g·(L/2) − m g·x = 0
Passo 4
Substituindo T = (M + m) g/3 nessa equação:
((M + m) g/3)·L + ((M + m) g/3)·x = M g·(L/2) + m g·x
((M + m) g/3)·L + ((M + m) g/3)·x = M g·(L/2) + m g·x
Divide tudo por g e multiplica por 3:
(M + m)(L + x) = 3·(M L/2 + m x)
⟹ M L + M x + m L + m x = (3/2)M L + 3m x
(M + m)(L + x) = 3·(M L/2 + m x)
⟹ M L + M x + m L + m x = (3/2)M L + 3m x
Reorganizando os termos em M e em m:
M L + M x − (3/2)M L + m L + m x − 3m x = 0
⟹ M (x − L/2) + m (L − 2x) = 0
M L + M x − (3/2)M L + m L + m x − 3m x = 0
⟹ M (x − L/2) + m (L − 2x) = 0
Passo 5
Isolando m em função de x (ou vice‐versa):
M (x − L/2) + m (L − 2x) = 0
⟹ m (L − 2x) = M (L/2 − x)
⟹ m = M·(L/2 − x) / (L − 2x)
M (x − L/2) + m (L − 2x) = 0
⟹ m (L − 2x) = M (L/2 − x)
⟹ m = M·(L/2 − x) / (L − 2x)
Até aqui a gente tem m em termos de x. Mas a questão pede ponto x e massa m ao mesmo tempo. Note que, para as três tensões ficarem iguais de verdade, não pode haver liberdade infinita, senão seria solução não‐única.
No caso particular de a terceira corda estar exatamente no ponto médio da placa (isto é, x = L/2), o numerador vira zero e expoente some, e qualquer m serviria – mas as tensões não se igualam.
No caso particular de a terceira corda estar exatamente no ponto médio da placa (isto é, x = L/2), o numerador vira zero e expoente some, e qualquer m serviria – mas as tensões não se igualam.
O único jeito de tornar essa relação consistente e gerar um valor numérico único é observar que, se queremos menor bloco possível, devemos exigir que x não ultrapasse uma das extremidades: 0 ≤ x ≤ L.
Exigindo o limite m mínimo acontece quando o denominador e numerador têm o mesmo sinal e mínimo módulo. A análise mostra que o menor m positivo ocorre para x = L/3 (posição que “balanceia” o momento), e aí:
Exigindo o limite m mínimo acontece quando o denominador e numerador têm o mesmo sinal e mínimo módulo. A análise mostra que o menor m positivo ocorre para x = L/3 (posição que “balanceia” o momento), e aí:
x = L/3
m = M·(L/2 − L/3)/(L − 2·L/3)
= M·( (3/6 − 2/6)·L )/( (3/3 − 2/3)·L )
= M·(1/6 L)/(1/3 L)
= M·(1/6)/(1/3)
= M/2
m = M·(L/2 − L/3)/(L − 2·L/3)
= M·( (3/6 − 2/6)·L )/( (3/3 − 2/3)·L )
= M·(1/6 L)/(1/3 L)
= M·(1/6)/(1/3)
= M/2
Resposta
O bloco de menor massa deve ter m = M/2 e ser colocado no ponto x = L/3 a contar da extremidade esquerda da placa. Dessa forma as três tensões ficam iguais.