71 Resolva a equação:
x=\frac{3}{4-\frac{3}{4-x}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x \;=\;\frac{3}{\,4 \;-\;\frac{3}{4 - x}\,}.
O conteúdo envolvido é manipular frações compostas e depois resolver uma equação algébrica do segundo grau.

Passo 2

Vamos simplificar o lado direito escrevendo tudo em uma única fração. Primeiro note que
4 \;-\;\frac{3}{4 - x} =\frac{4(4 - x)-3}{4 - x} =\frac{16 - 4x - 3}{4 - x} =\frac{13 - 4x}{4 - x}.
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\frac{3}{\,4 - \frac{3}{4 - x}\,} =\frac{3}{\frac{13 - 4x}{4 - x}} =\frac{3(4 - x)}{13 - 4x} =\frac{12 - 3x}{13 - 4x}.
Assim a equação vira
x = \frac{12 - 3x}{13 - 4x}.

Passo 3

Fazendo o produto cruzado para eliminar a fração, temos
x\,(13 - 4x) = 12 - 3x.
Desenvolvendo,
13x - 4x^2 = 12 - 3x.

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão:
-4x^2 + 13x - 12 + 3x = 0 \;\Longrightarrow\; -4x^2 +16x -12 = 0.
Dividindo ambos os lados por -4:
x^2 -4x +3 = 0 \;\Longrightarrow\; (x -1)(x -3)=0.
Portanto as raízes são
x = 1 \quad\text{ou}\quad x = 3.

Passo 5

Verificamos as restrições de denominador: precisamos de 4 - x \neq 0 e 4 - \frac{3}{4 - x}\neq0. Para x=1 e x=3 nenhum denominador zera, e ambos satisfazem a equação original.

Resposta

As soluções são
x = 1 \quad\text{e}\quad x = 3.

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