E=3,744 \mathrm{~J}
  1. Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,00 \mathrm{~J}, uma amplitude de 10,0 \mathrm{~cm} e uma velocidade máxima de 1,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine (a) a constante elástica, (b) a massa do bloco e (c) a frequência de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola com energia mecânica \,E=1,00\mathrm{\,J}, amplitude \,A=10,0\mathrm{\,cm}=0,10\mathrm{\,m} e velocidade máxima \,v_{\max}=1,20\mathrm{\,m/s}. Queremos encontrar (a) a constante elástica k, (b) a massa m e (c) a frequência de oscilação f. Para isso, usaremos as relações da oscilação harmônica simples:
  1. Energia potencial máxima (quando x=A):
E=\tfrac12\,k\,A^2.
  1. Energia cinética máxima (no equilíbrio):
E=\tfrac12\,m\,v_{\max}^2.
  1. Velocidade máxima em função da frequência angular \omega:
v_{\max}=A\,\omega.
  1. Frequência f em função de \omega:
f=\frac{\omega}{2\pi}.

Passo 2

Calcular a frequência angular \omega a partir de
v_{\max}=A\,\omega\quad\Longrightarrow\quad\omega=\frac{v_{\max}}{A}.
Substituindo v_{\max}=1,20\mathrm{\,m/s} e A=0,10\mathrm{\,m},
\omega=\frac{1,20}{0,10}=12{,}0\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Determinar a constante elástica k usando
E=\tfrac12\,k\,A^2\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{2E}{A^2}.
Substituindo E=1,00\mathrm{\,J} e A=0,10\mathrm{\,m},
k=\frac{2\times1,00}{(0,10)^2} =\frac{2,00}{0,010} =200\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Determinar a massa m usando a energia cinética máxima
E=\tfrac12\,m\,v_{\max}^2\quad\Longrightarrow\quad m=\frac{2E}{v_{\max}^2}.
Substituindo E=1,00\mathrm{\,J} e v_{\max}=1,20\mathrm{\,m/s},
m=\frac{2\times1,00}{(1,20)^2} =\frac{2,00}{1,44} \approx1,39\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular a frequência de oscilação f a partir de
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Com \omega=12{,}0\\ \mathrm{s^{-1}},
f=\frac{12{,}0}{2\pi}\approx\frac{12{,}0}{6,283} \approx1,91\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) k=200\\ \mathrm{N/m}.
(b) m=1,39\\ \mathrm{kg}.
(c) f=1,91\\ \mathrm{Hz}.

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