75 A área da superfície de uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa é 12 \mathrm{~cm}^{2}. O maior valor possível para o volume da lata é
a) \frac{2}{\sqrt{\pi}} \mathrm{~cm}^{3}
b) \frac{8}{\sqrt{\pi}} \mathrm{~cm}^{3}
c) \frac{12}{\sqrt{\pi}} \mathrm{~cm}^{3}
d) \frac{16}{\sqrt{\pi}} \mathrm{~cm}^{3}
e) \frac{18}{\sqrt{\pi}} \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado fala de uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa, cuja área da superfície é \,12\text{ cm}^2. Queremos encontrar o maior volume possível desta lata. O conteúdo envolvido é otimização de funções com restrição, usando derivadas.

Passo 2

Escrevemos a área da superfície S como soma da área lateral e da base:
S = 2\pi r h + \pi r^2 = 12.
Dessa equação, isolamos h em função de r:
h = \frac{12 - \pi r^2}{2\pi r}.

Passo 3

O volume da lata é
V = \pi r^2 h.
Substituindo h obtido acima:
V = \pi r^2 \cdot \frac{12 - \pi r^2}{2\pi r} = \frac{12r - \pi r^3}{2} =6r - \frac{\pi r^3}{2}.

Passo 4

Para achar o r que maximiza V, calculamos a derivada e igualamos a zero:
\frac{dV}{dr} = 6 - \frac{3\pi r^2}{2} =0 \quad\Longrightarrow\quad 3\pi r^2 = 12 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{4}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{2}{\sqrt{\pi}}.

Passo 5

Para confirmar que é máximo, basta notar que a segunda derivada é negativa para r>0. Agora, o volume máximo vale
V_{\max} = \pi r^2 h = \pi \frac{4}{\pi}\,\frac{2}{\sqrt{\pi}} =4\cdot\frac{2}{\sqrt{\pi}} =\frac{8}{\sqrt{\pi}}\text{ cm}^3.

Resposta

(b) \displaystyle \frac{8}{\sqrt{\pi}}\text{ cm}^3.

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