75 A área da superfície de uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa é
. O maior valor possível para o volume da lata é
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fala de uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa, cuja área da superfície é
. Queremos encontrar o maior volume possível desta lata. O conteúdo envolvido é otimização de funções com restrição, usando derivadas.
Passo 2
Escrevemos a área da superfície
como soma da área lateral e da base:
Dessa equação, isolamos
em função de
:
Passo 3
O volume da lata é
Substituindo
obtido acima:
Passo 4
Para achar o
que maximiza
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Para confirmar que é máximo, basta notar que a segunda derivada é negativa para
. Agora, o volume máximo vale
Resposta
(b)
.