76 Uma partícula se desloca ao longo da curva de equação y=x^{3}+x. No instante em que a partícula está no ponto (1,2), a taxa de variação de x é 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Nesse instante, a taxa de variação da distância da partícula até a origem, em cm/s, é
a) \frac{9}{\sqrt{5}}
b) \frac{13}{\sqrt{5}}
c) \frac{18}{\sqrt{5}}
d) \frac{22}{\sqrt{5}}
e) \frac{27}{\sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula se move segundo a curva y = x^{3} + x. No instante em que ela está no ponto (1,2), sabe-se que \frac{dx}{dt} = 3 cm/s. Queremos achar a taxa de variação da distância da partícula até a origem, isto é, \frac{dr}{dt}, onde r é essa distância. O conteúdo envolvido é um problema de taxas relacionadas.

Passo 2

Definimos a distância até a origem por
r = \sqrt{x^2 + y^2}.
Derivando em relação a t, obtemos
\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\;2\bigl(x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}\bigr) = \frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Como y = x^3 + x, pela regra da cadeia temos
\frac{dy}{dt} = (3x^2+1)\,\frac{dx}{dt}.
No ponto dado x=1 e \frac{dx}{dt}=3, logo
\frac{dy}{dt} = (3\cdot1^2 + 1)\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12\\ \text{cm/s}.

Passo 4

No ponto (1,2) temos x=1, y=2, \frac{dx}{dt}=3, \frac{dy}{dt}=12 e
r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.
Assim,
x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 1\cdot3 + 2\cdot12 = 3 + 24 = 27,
e portanto
\frac{dr}{dt} = \frac{27}{\sqrt{5}}\\ \text{cm/s}.

Resposta

(e) \displaystyle \frac{27}{\sqrt{5}}

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