2.77 Um gás em um conjunto cilindro-pistão percorre um ciclo termodinâmico composto por três processos em série, iniciando no estado 1 , em que p_{1}=1 bar, V_{1}=1,5 \mathrm{~m}^{3}, como a seguir:
Processo 1-2:Compressão com p V= constante, W_{12}=-104 \mathrm{~kJ}, U_{1}=512 \mathrm{~kJ}, U_{2}=690 \mathrm{~kJ}.
Processo 2-3: W_{23}=0, Q_{23}=150 \mathrm{~kJ}.
Processo 3-1: W_{31}=+50 \mathrm{~kJ}.
Não há variações na energia cinética ou potencial.
(a) Determine Q_{12}, Q_{31}, e U_{3}, todos em kJ. (b) Esse ciclo pode ser de potência? Explique.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo térmico em três processos, começando no estado 1. Dados fornecidos (todos os números foram retirados diretamente do enunciado):
  • Estado 1: p_{1}=1\\ \text{bar}, V_{1}=1{,}5\\ \text{m}^{3}, U_{1}=512\\ \text{kJ}.
  • Processo 1–2: relação pV= constante, W_{12}=-104\\ \text{kJ}, U_{2}=690\\ \text{kJ}.
  • Processo 2–3: W_{23}=0, Q_{23}=150\\ \text{kJ}.
  • Processo 3–1: W_{31}=+50\\ \text{kJ}.
  • Não há variação de energia cinética nem potencial.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar Q_{12}, Q_{31} e U_{3} (em kJ).
(b) Dizer se esse ciclo pode ser um ciclo de potência (i.e., produz potência/ trabalho útil); justificar.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula rápida): a lei primeiro da termodinâmica para cada processo fechado, com variação apenas de energia interna, é
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação de energia interna do sistema no processo (em kJ);
  • Q é o calor fornecido ao sistema (positivo se entra no sistema, negativo se sai);
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno; negativo se o trabalho é feito sobre o sistema).
Comentário sobre sinais (muito importante): no enunciado W_{12}=-104\\ \text{kJ} significa que o trabalho é negativo, isto é, trabalho foi realizado sobre o sistema (compressão). Já W_{31}=+50\\ \text{kJ} significa trabalho realizado pelo sistema no processo 3→1.
Vou aplicar essa fórmula em cada processo para encontrar os Q e U pedidos.

Passo 3

Determinar Q_{12} usando o processo 1→2.
Aplicamos a lei:
\Delta U_{12}=U_{2}-U_{1}=Q_{12}-W_{12}.
Isolando Q_{12}:
Q_{12} = (U_{2}-U_{1}) + W_{12}.
Substituindo os valores (todos em kJ):
U_{2}-U_{1}=690-512=178\\ \text{kJ},
W_{12}=-104\\ \text{kJ},
logo
Q_{12}=178+(-104)=74\\ \text{kJ}.
Interpretação didática: Q_{12}=74\\ \text{kJ}>0 significa que, apesar de a compressão ter sido feita (trabalho sobre o sistema), entrou calor no sistema de 74\\ \text{kJ} naquele processo.

Passo 4

Determinar U_{3} usando o processo 2→3.
Novamente, pela primeira lei:
\Delta U_{23}=U_{3}-U_{2}=Q_{23}-W_{23}.
Do enunciado Q_{23}=150\\ \text{kJ} e W_{23}=0, portanto
U_{3}-U_{2}=150-0=150\\ \text{kJ}.
Assim
U_{3}=U_{2}+150=690+150=840\\ \text{kJ}.
Comentário didático: se não há trabalho ( W_{23}=0), toda a energia térmica fornecida vai para aumentar a energia interna.

Passo 5

Determinar Q_{31} usando o processo 3→1 (ou usando balanço do ciclo).
Pela primeira lei para 3→1:
\Delta U_{31}=U_{1}-U_{3}=Q_{31}-W_{31}.
Calculamos \Delta U_{31}:
U_{1}-U_{3}=512-840=-328\\ \text{kJ}.
Sabemos W_{31}=+50\\ \text{kJ}. Isolando Q_{31}:
Q_{31}=(U_{1}-U_{3})+W_{31}=-328+50=-278\\ \text{kJ}.
Interpretação: Q_{31}=-278\\ \text{kJ} significa que, no processo 3→1, 278\\ \text{kJ} de calor saem do sistema para o entorno.

Passo 6

Verificação global (checagem útil e didática): somando variações do ciclo fechado.
Variação total de energia interna ao completar o ciclo:
\Delta U_{\text{ciclo}}=(U_{2}-U_{1})+(U_{3}-U_{2})+(U_{1}-U_{3})=0,
como deve ser (volta ao estado inicial).
Trabalhos somados:
W_{\text{net}}=W_{12}+W_{23}+W_{31}=-104+0+50=-54\\ \text{kJ}.
Calores somados:
Q_{\text{net}}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{31}=74+150+(-278)=-54\\ \text{kJ}.
A igualdade Q_{\text{net}}=W_{\text{net}} confirma a primeira lei para o ciclo completo (pois \Delta U_{\text{ciclo}}=0).

Passo 7

Responder (b): esse ciclo pode ser de potência?
Explicação didática curta: para um ciclo ser um ciclo de potência (ou motor térmico) ele precisa fornecer trabalho líquido positivo ao redor do ciclo, isto é, W_{\text{net}}>0. Aqui encontramos
W_{\text{net}}=-54\\ \text{kJ}<0,
portanto o trabalho líquido é negativo — o ciclo não produz trabalho, ao contrário, trabalho líquido foi realizado sobre o sistema (o processo exige entrada de trabalho). Em termos de calor, o ciclo rejeita mais calor do que absorve (saem 278\\ \text{kJ} em 3→1, entram 224\\ \text{kJ} nos outros dois), resultando em Q_{\text{net}}=-54\\ \text{kJ}.
Conclusão: não é um ciclo que produza potência (não é um motor térmico); ao invés disso ele precisa de entrada de trabalho (pode estar funcionando como um refrigerador/bomba de calor, dependendo do arranjo), mas certamente não como um gerador de trabalho.

Resposta

(a) Q_{12}=74\\ \text{kJ},\\ Q_{31}=-278\\ \text{kJ},\\ U_{3}=840\\ \text{kJ}
(b) Não. O trabalho líquido é W_{\text{net}}=-54\\ \text{kJ}<0, logo o ciclo consome trabalho e não produz potência.

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