[8.8] Um corpo com Capacidade Térmica constante CP e inicialmente a temperatura Ti é colocado em contato térmico com um reservatório de calor que está a uma alta temperatura Tf. A pressão é mantida constante enquanto o corpo entra em equilíbrio térmico com o reservatório. Mostre que a variação da Entropia do Universo é dada por:
(De
Onde (De0. Prove que essa variação de Entropia é positiva, ou seja, .

Passo 1

O enunciado pede para um corpo de capacidade térmica constante CP, inicialmente à temperatura Ti, ser posto em contato térmico com um reservatório isotérmico à temperatura Tf, à pressão constante, e demonstrar que
(De
com x=-tfracTf-TiTf, e ainda provar que essa variação de entropia do universo é positiva.

Passo 2

Para o corpo, a variação de entropia é dada pela definição reversível
De
Como dQrev=CP,dT, temos
De.

Passo 3

O reservatório perde calor Q=CP(Tf-Ti) de forma isotérmica em Tf, logo sua variação de entropia é
De.

Passo 4

Somando as duas contribuições obtém-se
(De
Definindo
x=-Tf-TiTf,
temos 1+x=tfracTiTf e portanto
(De.

Passo 5

Para mostrar que (De0 note que para x>-1 vale a desigualdade
ln(1+x)<= x
(com igualdade só se x=0), logo
x-ln(1+x)>=0,
e como aqui x<0 mas x>-1, o resultado é estritamente positivo. Portanto (De0.

Resposta

(\Delta S)_{Universo}=C_P\bigl[x-\ln(1+x)\bigr]>0

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