[8.8] Um corpo com Capacidade Térmica constante
e inicialmente a temperatura
é colocado em contato térmico com um reservatório de calor que está a uma alta temperatura
. A pressão é mantida constante enquanto o corpo entra em equilíbrio térmico com o reservatório. Mostre que a variação da Entropia do Universo é dada por:
Onde
. Prove que essa variação de Entropia é positiva, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado pede para um corpo de capacidade térmica constante
, inicialmente à temperatura
, ser posto em contato térmico com um reservatório isotérmico à temperatura
, à pressão constante, e demonstrar que
com
Passo 2
Para o corpo, a variação de entropia é dada pela definição reversível
Como
, temos
Passo 3
O reservatório perde calor
de forma isotérmica em
, logo sua variação de entropia é
Passo 4
Somando as duas contribuições obtém-se
Definindo
temos
e portanto
Passo 5
Para mostrar que
note que para
vale a desigualdade
(com igualdade só se
), logo
e como aqui
mas
, o resultado é estritamente positivo. Portanto
.
Resposta
(\Delta S)_{Universo}=C_P\bigl[x-\ln(1+x)\bigr]>0