89 O produto dos dois termos de uma fração é 224. Subtraindo 1 do denominador e adicionando 1 ao numerador os dois termos ficam iguais. Determine essa fração.
Passo 1
O enunciado pede uma fração cujo numerador e denominador, digamos
e
, satisfazem duas condições:
- O produto dos termos é
, isto é, . - Se adicionarmos 1 ao numerador e subtrairmos 1 do denominador, os dois termos ficam iguais:
.
Vamos usar essas duas relações para montar um sistema de equações e resolvê-lo por substituição, chegando a uma equação quadrática em.
Passo 2
Escrevendo as condições em forma de equações, temos
Da segunda equação segue diretamente
Passo 3
Substituímos
na primeira equação
:
Isso leva à equação quadrática
Passo 4
Para resolver
, calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são
Passo 5
Se
, então
.
Se , então
.
Como normalmente buscamos valores positivos para numerador e denominador de uma fração simples, escolhemos
Se
Como normalmente buscamos valores positivos para numerador e denominador de uma fração simples, escolhemos
Resposta
A fração procurada é
.