89 O produto dos dois termos de uma fração é 224. Subtraindo 1 do denominador e adicionando 1 ao numerador os dois termos ficam iguais. Determine essa fração.

Passo 1

O enunciado pede uma fração cujo numerador e denominador, digamos x e y, satisfazem duas condições:
  1. O produto dos termos é 224, isto é, x\,y=224.
  2. Se adicionarmos 1 ao numerador e subtrairmos 1 do denominador, os dois termos ficam iguais: x+1 = y-1.
    Vamos usar essas duas relações para montar um sistema de equações e resolvê-lo por substituição, chegando a uma equação quadrática em x.

Passo 2

Escrevendo as condições em forma de equações, temos
\begin{cases} x\,y = 224,\\\ x + 1 = y - 1. \end{cases}
Da segunda equação segue diretamente
y = x + 2.

Passo 3

Substituímos y = x + 2 na primeira equação x\,y = 224:
x\,(x + 2) = 224.
Isso leva à equação quadrática
x^2 + 2x - 224 = 0.

Passo 4

Para resolver x^2 + 2x - 224 = 0, calculamos o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900.
Como \sqrt{\Delta} = 30, as raízes são
x = \frac{-2 \pm 30}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 14 \quad\text{ou}\quad x = -16.

Passo 5

Se x = 14, então y = x + 2 = 16.
Se x = -16, então y = -14.
Como normalmente buscamos valores positivos para numerador e denominador de uma fração simples, escolhemos
x = 14,\quad y = 16.

Resposta

A fração procurada é \displaystyle \frac{14}{16}.

Exercícios relacionados