2.8G Comparando Razões Sejam \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\} duas sequências tais que \left|a_{n+1} / a_{n}\right| \leq\left|b_{n+1} / b_{n}\right|, \forall n \geq n_{0}, e suponha que a série \sum b_{n} convirja absolutamente.
(a) Mostre que \left|a_{n}\right| \leq\left|a_{1} / b_{1}\right|\left|b_{n}\right|, n \geq n_{0}, e por comparação conclua que \sum\left|a_{n}\right| converge.
(b) Se n\left(1-\left|a_{n+1} / a_{n}\right|\right) \geq \alpha, para algum \alpha>1, use a sequência b_{n}=1 /(n-1)^{\alpha} e a Desigualdade de Bernoulli do Exercício 1.6F para mostrar que \sum a_{n} converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado trata de compararmos duas séries pela razão de seus termos. Temos duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} tais que
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|\quad\forall n\ge n_0,
e \sum b_n converge absolutamente.
(a) Vamos mostrar que para n\ge n_0
|a_n|\le\biggl|\frac{a_{n_0}}{b_{n_0}}\biggr|\,|b_n|
e, em particular, se n_0=1, que \sum|a_n| converge.
(b) Se ainda n\bigl(1-|a_{n+1}/a_n|\bigr)\ge\alpha>1, escolhemos
b_n=\frac1{(n-1)^\alpha},\;n\ge2,
e usamos a Desigualdade de Bernoulli para verificar a hipótese de (a).

Passo 2

Para n\ge n_0 escrevemos o produto telescópico
|a_n| =|a_{n_0}|\prod_{k=n_0}^{n-1}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \le|a_{n_0}|\prod_{k=n_0}^{n-1}\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right| =|a_{n_0}|\;\frac{|b_n|}{|b_{n_0}|}.
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|a_n|\le\biggl|\frac{a_{n_0}}{b_{n_0}}\biggr|\,|b_n|.
Escolhendo n_0=1 segue
|a_n|\le\Bigl|\frac{a_1}{b_1}\Bigr|\,|b_n|\quad(\forall n\ge1).

Passo 3

Como \sum b_n converge absolutamente, a comparação direta dá
\sum_{n=1}^\infty|a_n| \le\Bigl|\frac{a_1}{b_1}\Bigr|\sum_{n=1}^\infty|b_n| <\infty.
Portanto \sum|a_n| converge.

Passo 4

Em (b), defina para n\ge2
b_n=\frac1{(n-1)^\alpha}.
Então
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\Bigl(1-\frac1n\Bigr)^\alpha \ge1-\frac{\alpha}{n}
pela Desigualdade de Bernoulli ( \alpha>1 e -1<x<0 implica (1+x)^\alpha\ge1+\alpha x).
A hipótese n(1-|a_{n+1}/a_n|)\ge\alpha equivale a
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le1-\frac{\alpha}{n} \le\frac{b_{n+1}}{b_n},
para todo n\ge2. Como \sum b_n=\sum_{k=1}^\infty1/k^\alpha converge ( \alpha>1), aplicamos o item (a) e concluímos que \sum|a_n| converge.

Resposta

(a) \sum|a_n| converge por comparação direta.
(b) Escolhendo b_n=1/(n-1)^\alpha e usando Bernoulli, satisfazemos a hipótese de (a) e, como \alpha>1, obtemos que \sum|a_n| converge absolutamente.

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