2.91 Uma bomba de calor mantém uma residência a 68^{\circ} \mathrm{F}\left(20.4^{\circ} \mathrm{C}\right). Quando operando em regime permanente, a potència de entrada da boniba de calor é de 5 \mathrm{hp}(3.7 \mathrm{~kW}), e a bomba de calon recebe energia por transférência de calor da água de um poço a 55^{\circ} \mathrm{F}\left(12.8^{\circ} \mathrm{C}\right) a uma taxa de 500 Btu/min (8792,2 W).
Determine o coeficiente de desempenhs.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o coeficiente de desempenho (COP) da bomba de calor. As informações fornecidas são:
  • A temperatura interna mantida pela bomba é 68^\circ\mathrm{F} \left(20{,}4^\circ\mathrm{C}\right).
  • A bomba recebe calor da água do poço a 55^\circ\mathrm{F} \left(12{,}8^\circ\mathrm{C}\right).
  • A taxa de entrada de calor proveniente do poço é 500\\ \mathrm{Btu/min}, e o enunciado converte isso para 8792{,}2\\ \mathrm{W}.
  • A potência de entrada elétrica da bomba é 5\\ \mathrm{hp} (o enunciado fornece 3{,}7\\ \mathrm{kW}).
  • A questão: determinar o coeficiente de desempenho da bomba de calor.

Passo 2

O que é o coeficiente de desempenho (COP) para uma bomba de calor e por que ele importa. Vou explicar devagarzinho:
  • O COP, no modo aquecimento, é a razão entre a taxa de calor entregue ao ambiente aquecido e a potência elétrica fornecida à bomba. Em símbolos:
\text{COP}=\frac{\dot{Q}_H}{\dot{W}_{in}}.
Aqui:
  • \dot{Q}_H é a taxa de calor fornecida ao ambiente quente (no nosso caso, a residência), em watts ( \mathrm{W}).
  • \dot{W}_{in} é a potência de entrada elétrica na bomba, também em watts ( \mathrm{W}).
  • Intuição: uma bomba de calor não converte só eletricidade em calor; ela “puxa” calor do ambiente frio e, com uma quantidade de trabalho, entrega mais calor ao espaço quente. Por isso o COP normalmente é maior que 1.

Passo 3

Relação de energia (primeira lei da termodinâmica) em regime permanente para a bomba de calor:
  • A energia que sai para o ambiente quente \dot{Q}_H vem da soma do calor extraído da fonte fria \dot{Q}_C mais a potência elétrica fornecida \dot{W}_{in}. Em fórmula:
\dot{Q}_H=\dot{Q}_C+\dot{W}_{in}.
  • Substituindo na definição de COP obtemos uma forma prática:
\text{COP}=\frac{\dot{Q}_H}{\dot{W}_{in}}=\frac{\dot{Q}_C+\dot{W}_{in}}{\dot{W}_{in}}=1+\frac{\dot{Q}_C}{\dot{W}_{in}}.
Essa expressão é muito útil porque nos basta conhecer \dot{Q}_C e \dot{W}_{in}.

Passo 4

Colocar todos os dados em unidades consistentes (SI, watts):
  • O enunciado já fornece \dot{Q}_C=8792{,}2\\ \mathrm{W} (conversão de 500\\ \mathrm{Btu/min} para \mathrm{W} foi fornecida). Se quisermos conferir rapidamente: 1\\ \mathrm{Btu}=1055{,}05585\\ \mathrm{J}, então
500\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\min}\times\frac{1055{,}05585\\ \mathrm{J}}{1\\ \mathrm{Btu}}\times\frac{1\\ \min}{60\\ \mathrm{s}}\approx8792{,}2\\ \mathrm{W},
o que bate com o enunciado. (Eu mostrei isso só pra você ver de onde vem o número.)
  • A potência de entrada fornecida no enunciado é \dot{W}_{in}=3{,}7\\ \mathrm{kW}=3700\\ \mathrm{W}. Vou usar 3700\\ \mathrm{W} para contar em watts.

Passo 5

Calcular a taxa de calor entregue ao ambiente quente \dot{Q}_H aplicando a relação energia:
\dot{Q}_H=\dot{Q}_C+\dot{W}_{in}=8792{,}2\\ \mathrm{W}+3700\\ \mathrm{W}.
Agora somamos:
\dot{Q}_H=12492{,}2\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Usar a definição do COP para calcular numericamente:
\text{COP}=\frac{\dot{Q}_H}{\dot{W}_{in}}=\frac{12492{,}2\\ \mathrm{W}}{3700\\ \mathrm{W}}.
Fazendo a divisão:
\text{COP}\approx3{,}37627\ldots
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em problemas desse tipo):
\text{COP}\approx3{,}38.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem: o COP resultante é adimensional (sem unidade) e maior que 1, o que faz sentido físico — a bomba entrega mais calor à casa do que a potência elétrica que consome, porque também transfere calor do poço. O cálculo usou apenas balanço de energia e conversões de unidades, nenhum detalhe de ciclos termodinâmicos reversíveis foi necessário aqui.

Resposta

3{,}38

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