A aceleração de uma partícula é definida pela relação
, onde
e
são expressos em
e segundos, respectivamente. Sabendo que
e
em
, determine a velocidade e posição da partícula quando
.
Passo 1
O enunciado fornece:
com as condições iniciais
O que se pede:
- a velocidade da partícula em
; - a posição da partícula em
.
Passo 2
Entendendo a relação entre aceleração, velocidade e posição (pequena aula):
- A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
- Para obter
a partir de fazemos a integral indefinida de em relação a . A integral de uma exponencial é (para ). Aqui temos uma exponencial decrescente , então usaremos essa regra.
Passo 3
Integramos
para obter
. Começando por escrever a integral:
Usando
com
, obtemos
onde
é a constante de integração. Simplificando a fração:
logo
Passo 4
Determinamos a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
:
Portanto a expressão final para a velocidade é
Explicação do resultado: a velocidade parte de zero e tende assintoticamente a
quando
, porque a parte exponencial decai para zero.
Passo 5
Calculamos a velocidade em
. Primeiro calcule a exponencial:
Substituindo em
:
Passo 6
Agora obtemos a posição
. Sabendo que
, integramos
:
Fazendo a integral termo a termo:
pois
e o sinal menos transforma em mais na expressão. Simplificamos
e então
Assim podemos escrever de forma compacta
Passo 7
Determinamos
usando
. Substituindo
:
logo
Substituindo em
obtemos uma forma mais limpa:
Passo 8
Calculamos
. Usando
,
Agora
e
Somando,