A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=4 e^{-0,15 t}, onde a e t são expressos em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} e segundos, respectivamente. Sabendo que x=0 e v=0 em t=0, determine a velocidade e posição da partícula quando t=0,5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece:
a(t)=4e^{-0,15t}\quad\text{(em m/s}^2\text{)},
com as condições iniciais
x(0)=0,\qquad v(0)=0.
O que se pede:
  • a velocidade da partícula em t=0,5\\ \mathrm{s};
  • a posição da partícula em t=0,5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo a relação entre aceleração, velocidade e posição (pequena aula):
  • A aceleração a(t) é a derivada da velocidade v(t) em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
  • Para obter v(t) a partir de a(t) fazemos a integral indefinida de a(t) em relação a t. A integral de uma exponencial \displaystyle \int e^{kt}\,dt é \displaystyle \frac{1}{k}e^{kt} (para k\neq0). Aqui temos uma exponencial decrescente e^{-0,15t}, então usaremos essa regra.

Passo 3

Integramos a(t) para obter v(t). Começando por escrever a integral:
v(t)=\int a(t)\,dt=\int 4e^{-0,15t}\,dt.
Usando \displaystyle \int e^{kt}\,dt=\frac{1}{k}e^{kt} com k=-0,15, obtemos
v(t)=4\cdot\frac{1}{-0,15}e^{-0,15t}+C,
onde C é a constante de integração. Simplificando a fração:
\frac{4}{0,15}=\frac{400}{15}=\frac{80}{3},
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v(t)=-\frac{80}{3}e^{-0,15t}+C.

Passo 4

Determinamos a constante C usando a condição inicial v(0)=0. Substituindo t=0:
0=-\frac{80}{3}e^{0}+C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{80}{3}.
Portanto a expressão final para a velocidade é
v(t)=\frac{80}{3}\bigl(1-e^{-0,15t}\bigr)\quad\text{(em m/s)}.
Explicação do resultado: a velocidade parte de zero e tende assintoticamente a \frac{80}{3}\\ \mathrm{m/s} quando t\to\infty, porque a parte exponencial decai para zero.

Passo 5

Calculamos a velocidade em t=0,5\\ \mathrm{s}. Primeiro calcule a exponencial:
0,15\cdot 0,5=0,075,\qquad e^{-0,075}\approx 0,9277434863.
Substituindo em v(t):
v(0,5)=\frac{80}{3}\bigl(1-e^{-0,075}\bigr)\approx \frac{80}{3}\cdot 0,0722565137\approx 1,92684\\ \text{m/s}.

Passo 6

Agora obtemos a posição x(t). Sabendo que v(t)=\dfrac{dx}{dt}, integramos v(t):
x(t)=\int v(t)\,dt=\int \frac{80}{3}\bigl(1-e^{-0,15t}\bigr)\,dt.
Fazendo a integral termo a termo:
x(t)=\frac{80}{3}\left(\int 1\,dt-\int e^{-0,15t}\,dt\right) =\frac{80}{3}\left(t+\frac{1}{0,15}e^{-0,15t}\right)+C_2,
pois \displaystyle \int e^{-0,15t}\,dt=-\frac{1}{0,15}e^{-0,15t} e o sinal menos transforma em mais na expressão. Simplificamos \dfrac{1}{0,15}=\dfrac{100}{15}=\dfrac{20}{3} e então
\frac{80}{3}\cdot\frac{1}{0,15}=\frac{80}{3}\cdot\frac{20}{3}=\frac{1600}{9}.
Assim podemos escrever de forma compacta
x(t)=\frac{80}{3}t+\frac{1600}{9}e^{-0,15t}+C_2.

Passo 7

Determinamos C_2 usando x(0)=0. Substituindo t=0:
0=\frac{80}{3}\cdot 0+\frac{1600}{9}e^{0}+C_2=\frac{1600}{9}+C_2,
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C_2=-\frac{1600}{9}.
Substituindo em x(t) obtemos uma forma mais limpa:
x(t)=\frac{80}{3}t+\frac{1600}{9}\bigl(e^{-0,15t}-1\bigr)\quad\text{(em m)}.

Passo 8

Calculamos x(0,5). Usando e^{-0,075}\approx 0,9277434863,
e^{-0,075}-1\approx -0,0722565137.
Agora
\frac{80}{3}\cdot 0,5=\frac{40}{3}\approx 13,3333333,
e
\frac{1600}{9}\bigl(e^{-0,075}-1\bigr)\approx \frac{1600}{9}\cdot(-0,0722565137)\approx -12,83456.
Somando,
x(0,5)\approx 13,3333333-12,83456\approx 0,49878\\ \text{m}.

Resposta

v(0,5)\approx 1,9268\\ \mathrm{m/s}
x(0,5)\approx 0,4988\\ \mathrm{m}

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