A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=3,0 e^-0,20 t, onde a e t são expressos em m / s^2 e segundos, respectivamente. Sabendo que x=0 mev =0 m / s em t=0 s, determine a velocidade e a posição da partícula quando t=0,50 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre aceleração, velocidade e posição de uma partícula ao longo do tempo. Vamos precisar usar cálculo básico, especialmente integração para passar da aceleração para a velocidade e da velocidade para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da aceleração que foi dada: $ a(t) = 3,0 , e^{-0,20 t} $. Isso nos mostra como a aceleração da partícula varia com o tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

A fórmula para a velocidade $ v(t) $ é a integral da aceleração:
v(t)
A função exponencial $ e^{-0,20 t} $ é fácil de integrar. A integral de $ e^{kt} $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração:
v(t) = 3,0 times ( -10,20 ) e^-0,20 t + C
v(t) = -15 , e^-0,20 t + C
Agora, usamos a condição inicial $ v(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
v(0) = 0
Então, a expressão para a velocidade fica:
C

Passo 5

Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo:
x(t)
Integrando termo a termo:
x(t) = integral v(t) , dt = integral 15 (1 - e^-0,20 t) , dt
x(t) = 15t + 150,20 e^-0,20 t + D
Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $ para encontrar $ D $:
x(t) = 15t - 75 , e^-0,20 t + D
Então, a expressão para a posição fica:
x(0) = 0
Simplificando:
D

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade e a posição no tempo $ t = 0,50 $ segundos.
Para a velocidade:
t = 0,50
v(0,50) = 15 (1 - e^-0,20 times 0,50)
Calculando $ e^{-0,10} \approx 0,904837 $:
v(0,50) = 15 (1 - e^-0,10)
Para a posição:
e^-0,10 approx 0,904837
v(0,50) = 15 (1 - 0,904837) approx 15 times 0,095163 = 1,42745 , m/s
x(0,50) = 15 times 0,50 + 75 (1 - e^-0,20 times 0,50)

Resposta

Quando $ t = 0,50 $ segundos, a velocidade da partícula é aproximadamente $ 1,43 , \mathrm{m/s} $ e a posição é aproximadamente $ 14,64 , \mathrm{m} $.

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