A aceleração de uma partícula é definida pela relação
, onde a e
são expressos em
e segundos, respectivamente. Sabendo que
em
, determine a velocidade e a posição da partícula quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre aceleração, velocidade e posição de uma partícula ao longo do tempo. Vamos precisar usar cálculo básico, especialmente integração para passar da aceleração para a velocidade e da velocidade para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da aceleração que foi dada: $ a(t) = 3,0 , e^{-0,20 t} $. Isso nos mostra como a aceleração da partícula varia com o tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
A fórmula para a velocidade $ v(t) $ é a integral da aceleração:
A função exponencial $ e^{-0,20 t} $ é fácil de integrar. A integral de $ e^{kt} $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} $, onde $ k $ é uma constante.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração:
Agora, usamos a condição inicial $ v(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição $ x(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $ para encontrar $ D $:
Então, a expressão para a posição fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a velocidade e a posição no tempo $ t = 0,50 $ segundos.
Para a velocidade:
Calculando $ e^{-0,10} \approx 0,904837 $:
Para a posição:
Resposta
Quando $ t = 0,50 $ segundos, a velocidade da partícula é aproximadamente $ 1,43 , \mathrm{m/s} $ e a posição é aproximadamente $ 14,64 , \mathrm{m} $.