Acetona \left(\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}\right) e o ar estão se difundindo em contra-difusão equimolecular. Uma partição separa acetona do ar ambos a 0^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Inicialmente a acetona é uma
substância pura. A partição é removida e depois de 2 h , o fluxo de massa foi adotado como \mathrm{j}_{\mathrm{A}}=7,32 \times 10^{-5} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{2} \mathrm{~h}. Encontre a fração mássica da acetona a 30,5 \mathrm{~cm} a direita da posição inicial da partição.

Passo 1

O enunciado dá um problema de difusão entre acetona e ar (contra-difusão equimolecular), com as condições iniciais e um fluxo medido, e pede a fração mássica da acetona a uma certa posição após 2 h. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dados do enunciado (valores que peguei do enunciado):
    • Espécie A = acetona \mathrm{C_3H_6O}.
    • Temperatura inicial: T=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: P=1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Após t=2\\ \mathrm{h} foi observado/adotado o fluxo de massa da acetona j_A = 7{,}32\times10^{-5}\\ \mathrm{g}\!/ \mathrm{cm}^2\\ \mathrm{h}.
    • Pede-se a fração mássica da acetona (denotarei por w_A) no ponto localizado x=30{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}305\\ \mathrm{m} à direita da posição inicial da partição, no mesmo instante t=2\\ \mathrm{h}.
  • O que preciso encontrar: w_A em x=0{,}305\\ \mathrm{m} e t=2\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Escolha do modelo físico e equações fundamentais (aula curta):
  • Situação física: inicialmente \,y_A(x,0)=1 para x<0 (acetona pura à esquerda) e \,y_A(x,0)=0 para x>0 (ar à direita). A partição em x=0 é removida em t=0.
  • Para este problema de passo inicial numa geometria unidimensional e com difusão binária praticamente sem movimento convectivo global, a equação de difusão linear se aplica à concentração molar de A: \frac{\partial C_A}{\partial t}=D_{AB}\,\frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2},onde
    • C_A é a concentração molar de A ( \mathrm{mol}\!/ \mathrm{m}^3),
    • D_{AB} é o coeficiente de difusão binária ( \mathrm{m}^2\!/ \mathrm{s}).
  • Como a pressão e a temperatura são uniformes e a mistura é gasosa ideal, a concentração total C_T é constante e C_A = C_T\,y_A,com y_A a fração molar de A e C_T = \dfrac{P}{R_u T} (mol/m^3), onde R_u é a constante universal dos gases R_u=8{,}3145\\ \mathrm{J}\!/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}).
  • Solução conhecida (caso clássico do “passo” inicial, domínio infinito): para as condições iniciais y_A(x,0)=1 (para x<0) e y_A(x,0)=0 (para x>0), y_A(x,t)=\tfrac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\!\biggl(\dfrac{x}{2\sqrt{D_{AB}\,t}}\biggr).Explicação rápida: a função erro complementar \operatorname{erfc} descreve a transição suave que se forma devido à difusão a partir do passo inicial; em x=0 tem y_A(0,t)=1/2.
  • O fluxo molar (moles por área por tempo) de A dado pela Lei de Fick é, em x, N_A(x,t) = -D_{AB}\,C_T\,\frac{\partial y_A}{\partial x}.Derivando a solução de y_A e avaliando em x=0 obtém-se o fluxo de pico em x=0: N_A(0,t)=\frac{D_{AB}\,C_T}{2\sqrt{\pi\,D_{AB}\,t}}=\frac{C_T\sqrt{D_{AB}}}{2\sqrt{\pi\,t}}.
  • O fluxo de massa (massa por área por tempo) relacionado é j_A = M_A\,N_A(0,t)=\frac{M_A\,C_T\,\sqrt{D_{AB}}}{2\sqrt{\pi\,t}},onde M_A é a massa molar da acetona (kg/mol). Esta relação permite determinar \sqrt{D_{AB}} a partir do j_A medido em t.

Passo 3

Definições e conversões de constantes que vou usar (explicando cada variável):
  • Constante dos gases: R_u=8{,}3145\\ \mathrm{J}\!/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}).
  • Pressão: P=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: T=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Concentração total de moléculas (molar) do gás: C_T=\frac{P}{R_u T}.Interpretação: C_T é a quantidade de mols por metro cúbico sob as condições dadas.
  • Massa molar da acetona: calcular a partir da fórmula \mathrm{C_3H_6O}.
    • M_A\approx 3\times12{,}01 + 6\times1{,}008 + 16{,}00 = 58{,}08\\ \mathrm{g}\!/ \mathrm{mol}=0{,}05808\\ \mathrm{kg}\!/ \mathrm{mol}.
  • Conversão do fluxo medido para unidades SI:
    • Dado j_A=7{,}32\times10^{-5}\\ \mathrm{g}\!/ \mathrm{cm}^2\\ \mathrm{h}.
    • 1 \mathrm{g}\!/ \mathrm{cm}^2 = 10\\ \mathrm{kg}\!/ \mathrm{m}^2. Logo em \mathrm{kg}\!/ \mathrm{m}^2\\ \mathrm{h}: j_A = 7{,}32\times10^{-5}\times 10 = 7{,}32\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}\!/ \mathrm{m}^2\\ \mathrm{h}.
    • Para \mathrm{kg}\!/ \mathrm{m}^2\\ \mathrm{s} divido por 3600: j_A = \frac{7{,}32\times10^{-4}}{3600} \approx 2{,}0333\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}\!/ \mathrm{m}^2\\ \mathrm{s}.
  • Tempo: t=2\\ \mathrm{h}=7200\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular C_T e reescrever a relação para \sqrt{D_{AB}}:
  • Calcular C_T: C_T=\frac{P}{R_u T}=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{8{,}3145\times273{,}15}\\ \mathrm{mol}\!/ \mathrm{m}^3\approx 44{,}615\\ \mathrm{mol}\!/ \mathrm{m}^3.(valor numérico conhecido próximo de 44{,}6\\ \mathrm{mol}\!/ \mathrm{m}^3 em STP).
  • Isolar \sqrt{D_{AB}} da fórmula do fluxo de massa: j_A=\frac{M_A\,C_T\,\sqrt{D_{AB}}}{2\sqrt{\pi\,t}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{D_{AB}}=\frac{2\sqrt{\pi\,t}\,j_A}{M_A\,C_T}.

Passo 5

Substituir números para obter D_{AB} (faço as contas passo a passo, sem pular):
  • Numerador: 2\sqrt{\pi\,t}\,j_A =2\sqrt{\pi\times 7200}\times 2{,}0333\times10^{-7}.Calcular \sqrt{\pi\times 7200}: \sqrt{\pi}\approx1{,}77245385,\qquad \sqrt{7200}\approx84{,}8528,então 2\sqrt{\pi\,t}=2\times1{,}77245385\times84{,}8528\approx 300{,}78.Multiplicando pelo j_A: 2\sqrt{\pi\,t}\,j_A \approx 300{,}78\times 2{,}0333\times10^{-7}\approx 6{,}12\times10^{-5}.
  • Denominador: M_A\,C_T=0{,}05808\times 44{,}615\approx 2{,}5913.
  • Logo \sqrt{D_{AB}}\approx\frac{6{,}12\times10^{-5}}{2{,}5913}\approx 2{,}361\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\!/ \mathrm{s}^{1/2}.
  • Elevando ao quadrado para obter D_{AB}: D_{AB} \approx (2{,}361\times10^{-5})^{2}\approx 5{,}57\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2\!/ \mathrm{s}.Observação didática curta: esse valor numérico é extremamente pequeno para um coeficiente de difusão em gases reais (valores típicos são da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2\!/ \mathrm{s}). No entanto, aqui estamos apenas seguindo a relação matemática fornecida pelo fluxo medido; com esse j_A obtém-se esse D_{AB} efetivo na fórmula do passo anterior.

Passo 6

Calcular a fração molar y_A em x=0{,}305\\ \mathrm{m} e t=7200\\ \mathrm{s}, usando a solução do passo inicial:
  • Argumento da erfc: z=\frac{x}{2\sqrt{D_{AB}\,t}}.Primeiro calcular \sqrt{D_{AB}\,t}=\sqrt{5{,}57\times10^{-10}\times 7200}. D_{AB}\,t \approx 5{,}57\times10^{-10}\times7200 \approx 4{,}01\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2,
\sqrt{D_{AB}\,t}\approx 2{,}003\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Assim
2\sqrt{D_{AB}\,t}\approx 4{,}006\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
e
z=\frac{0{,}305}{4{,}006\times10^{-3}}\approx 76{,}15.
  • A fração molar é y_A(x,t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{erfc}(z)=\tfrac{1}{2}\operatorname{erfc}(76{,}15).Para z tão grande, \operatorname{erfc}(z) é astronomicamente pequena (praticamente zero). Pelo desenvolvimento assintótico, \operatorname{erfc}(z)\sim\frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}\,z}\quad\text{quando }z\to\infty,e já para z\approx76 esse valor é essencialmente zero (ordens de magnitude como 10^{-2520}, i.e., desprezível).
    Portanto numericamete y_A(0{,}305\\ \mathrm{m},7200\\ \mathrm{s})\approx 0.

Passo 7

Converter a fração molar em fração mássica w_A (explicando a fórmula e variáveis):
  • A fração mássica w_A em termos de frações molares é w_A=\frac{M_A\,y_A}{M_A\,y_A+M_B\,y_B},onde M_B é a massa molar do ar efetivo e y_B=1-y_A.
  • Para y_A praticamente zero, a expressão aproxima-se por w_A\approx \frac{M_A\,y_A}{M_B}\quad\text{(quando }y_A\ll 1\text{)},mas se y_A é numericamente zero dentro de qualquer precisão prática, então w_A\approx 0.
  • (Se desejasse um número, poderia tomar M_B\approx 0{,}02896\\ \mathrm{kg}\!/ \mathrm{mol} para ar seco e calcular uma cota superior; mas dado y_A\lesssim 10^{-2500}, o w_A também é \lesssim 10^{-2500} e portanto desprezível.)

Resposta

w_A \approx 0