Acetona
e o ar estão se difundindo em contra-difusão equimolecular. Uma partição separa acetona do ar ambos a
e 1 atm . Inicialmente a acetona é uma
substância pura. A partição é removida e depois de 2 h , o fluxo de massa foi adotado como
. Encontre a fração mássica da acetona a
a direita da posição inicial da partição.
substância pura. A partição é removida e depois de 2 h , o fluxo de massa foi adotado como
Passo 1
O enunciado dá um problema de difusão entre acetona e ar (contra-difusão equimolecular), com as condições iniciais e um fluxo medido, e pede a fração mássica da acetona a uma certa posição após 2 h. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Dados do enunciado (valores que peguei do enunciado):
- Espécie A = acetona
. - Temperatura inicial:
. - Pressão:
. - Após
foi observado/adotado o fluxo de massa da acetona - Pede-se a fração mássica da acetona (denotarei por
) no ponto localizado à direita da posição inicial da partição, no mesmo instante .
- Espécie A = acetona
- O que preciso encontrar:
em e .
Passo 2
Escolha do modelo físico e equações fundamentais (aula curta):
- Situação física: inicialmente
para (acetona pura à esquerda) e para (ar à direita). A partição em é removida em . - Para este problema de passo inicial numa geometria unidimensional e com difusão binária praticamente sem movimento convectivo global, a equação de difusão linear se aplica à concentração molar de A:
onde -
é a concentração molar de A ( ), -
é o coeficiente de difusão binária ( ).
-
- Como a pressão e a temperatura são uniformes e a mistura é gasosa ideal, a concentração total
é constante e com a fração molar de A e (mol/m^3), onde é a constante universal dos gases . - Solução conhecida (caso clássico do “passo” inicial, domínio infinito): para as condições iniciais
(para ) e (para ), Explicação rápida: a função erro complementar descreve a transição suave que se forma devido à difusão a partir do passo inicial; em tem . - O fluxo molar (moles por área por tempo) de A dado pela Lei de Fick é, em
, Derivando a solução de e avaliando em obtém-se o fluxo de pico em : - O fluxo de massa (massa por área por tempo) relacionado é
onde é a massa molar da acetona (kg/mol). Esta relação permite determinar a partir do medido em .
Passo 3
Definições e conversões de constantes que vou usar (explicando cada variável):
- Constante dos gases:
. - Pressão:
. - Temperatura:
. - Concentração total de moléculas (molar) do gás:
Interpretação: é a quantidade de mols por metro cúbico sob as condições dadas. - Massa molar da acetona: calcular a partir da fórmula
. -
- Conversão do fluxo medido para unidades SI:
- Dado
. - 1
. Logo em : - Para
divido por :
- Dado
- Tempo:
.
Passo 4
Calcular
e reescrever a relação para
:
- Calcular
: (valor numérico conhecido próximo de em STP). - Isolar
da fórmula do fluxo de massa:
Passo 5
Substituir números para obter
(faço as contas passo a passo, sem pular):
- Numerador:
Calcular : então Multiplicando pelo : - Denominador:
- Logo
- Elevando ao quadrado para obter
: Observação didática curta: esse valor numérico é extremamente pequeno para um coeficiente de difusão em gases reais (valores típicos são da ordem de ). No entanto, aqui estamos apenas seguindo a relação matemática fornecida pelo fluxo medido; com esse obtém-se esse efetivo na fórmula do passo anterior.
Passo 6
Calcular a fração molar
em
e
, usando a solução do passo inicial:
- Argumento da erfc:
Primeiro calcular .
Assim
e
- A fração molar é
Para tão grande, é astronomicamente pequena (praticamente zero). Pelo desenvolvimento assintótico, e já para esse valor é essencialmente zero (ordens de magnitude como , i.e., desprezível).
Portanto numericamete
Passo 7
Converter a fração molar em fração mássica
(explicando a fórmula e variáveis):
- A fração mássica
em termos de frações molares é onde é a massa molar do ar efetivo e . - Para
praticamente zero, a expressão aproxima-se por mas se é numericamente zero dentro de qualquer precisão prática, então . - (Se desejasse um número, poderia tomar
para ar seco e calcular uma cota superior; mas dado , o também é e portanto desprezível.)