Para acetona líquida a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar,
\beta=1,487 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, \kappa=62 \times 10-6 \text { bar }^{-1} \text { e } V=1,287 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}
Para a acetona, determine:
(a) O valor de (\partial P / \partial T)_{V} a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar.
(b) A pressão gerada pelo aquecimento a V constante, de 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar até 30^{\circ} \mathrm{C}.
(c) A variação no volume para uma variação de 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar para 0^{\circ} \mathrm{C} e 10 bar.

Passo 1

O enunciado fornece os valores para acetona líquida a 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar}:
\beta = 1,487\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},\qquad \kappa = 62\times 10^{-6}\\ \mathrm{bar}^{-1},\qquad V = 1,287\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
As perguntas são:
(a) Determinar \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V nas condições dadas.
(b) Calcular a pressão gerada quando se aquece à volume constante de 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar} até 30^\circ\mathrm{C}.
(c) Calcular a variação de volume ao passar de 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar} para 0^\circ\mathrm{C} e 10\\ \mathrm{bar}.

Passo 2

Conceitos e relações que vamos usar (explicando passo a passo):
  • O coeficiente de expansão térmica \beta é definido por
\beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P.
Isto significa que, mantendo a pressão constante, a variação infinitesimal de volume por variação de temperatura é \left(\partial V/\partial T\right)_P = V\beta. A unidade de \beta é ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • A compressibilidade isotérmica \kappa é definida por
\kappa = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.
Ou seja, mantendo a temperatura constante, \left(\partial V/\partial P\right)_T = -V\kappa. A unidade de \kappa é \mathrm{bar}^{-1}.
  • Para relacionar \left(\partial P/\partial T\right)_V com \beta e \kappa vamos usar a identidade obtida da diferencial total de V:
dV = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P dT + \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T dP.
Se mantemos V constante ( dV=0), isolamos \left(\dfrac{dP}{dT}\right)_V:
0 = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P dT + \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T dP \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{dP}{dT}\right)_V = -\frac{\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P}{\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T}.
Substituindo \left(\partial V/\partial T\right)_P = V\beta e \left(\partial V/\partial P\right)_T = -V\kappa obtemos a relação simples e muito útil:
\boxed{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta}{\kappa}.}
Explicação intuitiva: se aquecemos um líquido a volume fixo a pressão tem que subir para compensar o aumento natural de volume com a temperatura; a razão entre a tendência de expansão ( \beta) e a facilidade de comprimir ( \kappa) determina quão rapidamente a pressão cresce com T.

Passo 3

Aplicando a relação para responder (a). Substituímos os valores numéricos (atenção às potências de 10):
\beta = 1,487\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},\qquad \kappa = 62\times 10^{-6}\\ \mathrm{bar}^{-1}.
Calculamos
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{1,487\times 10^{-3}}{62\times 10^{-6}} = \frac{1,487}{62}\times 10^{3}.
Faço a divisão \dfrac{1,487}{62}\approx 0,0239839. Multiplicando por 10^3 obtém-se
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \approx 23,984\\ \mathrm{bar}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Arredondando a dois decimais fica cerca de 23,98\\ \mathrm{bar}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Resolver (b): aquecimento a volume constante de 20^\circ\mathrm{C} para 30^\circ\mathrm{C}. Aqui usamos aproximação linear (propriedades consideradas constantes no intervalo), logo:
\Delta P \approx \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \Delta T.
Temos \Delta T = 30-20 = 10\\ ^\circ\mathrm{C} e \left(\partial P/\partial T\right)_V\approx 23,984\\ \mathrm{bar}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}. Então
\Delta P \approx 23,984\times 10 = 239,84\\ \mathrm{bar}.
A pressão final é
P_{\text{final}} = P_{\text{inicial}} + \Delta P = 1\\ \mathrm{bar} + 239,84\\ \mathrm{bar} = 240,84\\ \mathrm{bar}.
Comentário prático: é um aumento grande — isso é típico de líquidos quase incompressíveis quando aquecidos em volume fixo.

Passo 5

Resolver (c): variação de volume ao ir de 20^\circ\mathrm{C},\\\ 1\\ \mathrm{bar} para 0^\circ\mathrm{C},\\\ 10\\ \mathrm{bar}. Usamos a diferencial total linearizada para pequenas variações:
dV = V\beta\, dT - V\kappa\, dP \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta V}{V} \approx \beta\,\Delta T - \kappa\,\Delta P.
Aqui \Delta T = 0 - 20 = -20\\ ^\circ\mathrm{C} e \Delta P = 10 - 1 = 9\\ \mathrm{bar}. Substituímos valores:
\beta\,\Delta T = 1,487\times 10^{-3}\times(-20) = -0,02974,
\kappa\,\Delta P = 62\times 10^{-6}\times 9 = 558\times 10^{-6} = 0,000558.
Assim
\frac{\Delta V}{V} \approx -0,02974 - 0,000558 = -0,030298.
Multiplicando pelo volume molar dado V=1,287\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}:
\Delta V \approx 1,287\times(-0,030298) \approx -0,03901\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
Volume final aproximado:
V_{\text{final}} = 1,287 + (-0,03901) \approx 1,24799\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}\approx 1,248\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
Interpretação: a queda de temperatura (que tende a diminuir o volume) domina sobre o efeito de aumento de pressão (que também diminui o volume), resultando em redução total de volume de aproximadamente 0,039\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.

Resposta

(a) \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V \approx 23,98\\ \mathrm{bar}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}
(b) \Delta P \approx 239,84\\ \mathrm{bar},\quad P_{\text{final}}\approx 240,84\\ \mathrm{bar}
(c) \Delta V \approx -0,03901\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1},\quad V_{\text{final}}\approx 1,248\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}

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