Um vaso rígido, cheio até a metade do seu volume com nitrogênio líquido no seu ponto normal de ebulição, é aquecido até 25^{\circ} \mathrm{C}. Qual a pressão desenvolvida? O volume molar do nitrogênio líquido no seu ponto normal de ebulição é de 34,7 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a pressão desenvolvida quando um vaso rígido, inicialmente cheio até a metade do volume com nitrogênio líquido no seu ponto normal de ebulição, é aquecido até 25^\circ\mathrm{C}. Informações e dados fornecidos / implícitos:
  • O vaso é rígido (volume total constante).
  • Volume ocupado pelo líquido inicialmente: metade do volume do vaso, i.e., V_{\ell,0} = \tfrac{1}{2}V.
  • O nitrogênio está no ponto normal de ebulição: isso significa que a fase vapor, acima do líquido, está à pressão p_0 = 1\\ \text{atm} (ou 1,01325\times10^{5}\\ \text{Pa}) e à temperatura de ebulição normal T_b (para o nitrogênio T_b\approx 77{,}36\\ \text{K}).
  • Volume molar do nitrogênio líquido no ponto de ebulição: \bar{V}_\ell = 34{,}7\\ \text{cm}^3\\ \text{mol}^{-1}.
  • Temperatura final: 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \text{K}.
  • O que se pede: pressão final no interior do vaso depois de aquecer a 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Plano físico e suposições (explicação didática):
  • Como o vaso é fechado e rígido, o volume total V é constante.
  • Ao aquecer até 298{,}15\\ \text{K} o nitrogênio estará muito acima de sua temperatura crítica ( T_c\approx126\\ \text{K}), portanto não existe fase líquida estável a 25^\circ\mathrm{C}; o sistema ficará inteiramente em fase gasosa (ou supercrítica, que para nossos propósitos tratamos como um gás ideal aproximado se a densidade permitir). Logo, no estado final todo o nitrogênio estará na fase gasosa.
  • A quantidade total de matéria (número de mols) é conservada: n_{\text{total}} = n_{\ell,0} + n_{g,0}, onde n_{\ell,0} é o número de mols que estavam no líquido inicialmente e n_{g,0} os mols presentes no vapor inicial acima do líquido.
  • Para calcular a pressão final usamos a lei dos gases ideais (explicarei em detalhe no próximo passo), aplicando \displaystyle p_f = \frac{n_{\text{total}} R T_f}{V}.

Passo 3

Cálculo do número de mols iniciais (explicação das fórmulas e significados):
  • Mols no líquido inicialmente: usamos o volume molar do líquido. Se o líquido ocupa V_{\ell,0}=\tfrac{1}{2}V, então
n_{\ell,0}=\frac{V_{\ell,0}}{\bar{V}_\ell}=\frac{\tfrac{1}{2}V}{\bar{V}_\ell}.
Aqui \bar{V}_\ell é o volume ocupado por 1 mol de líquido (unidade: \text{m}^3\\ \text{mol}^{-1} quando convertido).
  • Mols no vapor inicialmente: usamos a lei dos gases ideais no vapor inicial (já que no ponto de ebulição o vapor obedece p_0,\;T_b):
n_{g,0}=\frac{p_0 V_{g,0}}{R T_b}=\frac{p_0\cdot \tfrac{1}{2}V}{R T_b},
onde V_{g,0}=\tfrac{1}{2}V é o volume do espaço de vapor inicial, R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}) e T_b é a temperatura de ebulição em kelvin.
  • Assim, o número total de mols é
n_{\text{total}}=n_{\ell,0}+n_{g,0}=\frac{\tfrac{1}{2}V}{\bar{V}_\ell}+\frac{p_0\cdot \tfrac{1}{2}V}{R T_b}.

Passo 4

Expressão para a pressão final por manipulação algébrica (mostrando cancelamento do volume):
  • Aplicando a lei dos gases ideais ao estado final (todo o nitrogênio como gás a T_f):
p_f=\frac{n_{\text{total}} R T_f}{V}.
  • Substituindo n_{\text{total}}:
p_f=\frac{\left(\dfrac{\tfrac{1}{2}V}{\bar{V}_\ell}+\dfrac{p_0\cdot \tfrac{1}{2}V}{R T_b}\right)R T_f}{V}.
  • Podemos fatorar \tfrac{1}{2}V e ver que V cancela:
p_f=\frac{1}{2}\left(\frac{R T_f}{\bar{V}_\ell}+\frac{p_0 R T_f}{R T_b}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{R T_f}{\bar{V}_\ell}+p_0\frac{T_f}{T_b}\right).
Esta fórmula é muito prática: não depende do volume total do vaso (apenas da fração inicial, aqui 1/2, e das propriedades do nitrogênio).

Passo 5

Substituição numérica (conversões e contas passo a passo):
  • Converter \bar{V}_\ell para \text{m}^3\\ \text{mol}^{-1}:
\bar{V}_\ell=34{,}7\\ \text{cm}^3\\ \text{mol}^{-1}=34{,}7\times10^{-6}\\ \text{m}^3\\ \text{mol}^{-1}.
  • Valores a usar:
R=8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1},\quad T_f=298{,}15\\ \text{K},\quad T_b\approx77{,}36\\ \text{K},
p_0=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • Calcular o primeiro termo \dfrac{R T_f}{\bar{V}_\ell}:
\frac{R T_f}{\bar{V}_\ell}=\frac{8{,}314\cdot 298{,}15}{34{,}7\times10^{-6}} \approx\frac{2\,479{,}2}{3{,}47\times10^{-5}} \approx7{,}1437\times10^{7}\\ \text{Pa}.
(Detalhe: 8{,}314\cdot 298{,}15\approx2\,479{,}2.)
  • Calcular o segundo termo p_0\frac{T_f}{T_b}:
p_0\frac{T_f}{T_b}=1{,}01325\times10^{5}\cdot\frac{298{,}15}{77{,}36} \approx1{,}01325\times10^{5}\cdot3{,}853 \approx3{,}903\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • Somando e dividindo por 2:
p_f=\frac{1}{2}\left(7{,}1437\times10^{7}+3{,}903\times10^{5}\right) \approx\frac{1}{2}\left(7{,}1827\times10^{7}\right) \approx3{,}5914\times10^{7}\\ \text{Pa}.
  • Converter para atmosferas para dar uma noção mais física:
1\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}\quad\Rightarrow\quad p_f\approx\frac{3{,}5914\times10^{7}}{1{,}01325\times10^{5}}\approx354{,}6\\ \text{atm}.

Passo 6

Interpretação e comentário final (motivação):
  • O valor encontrado é muito alto (ordem de centenas de atmosferas) porque o líquido, apesar de ocupar metade do volume, contém um número enorme de mols devido ao seu pequeno volume molar; ao transformar-se em gás a 25^\circ\mathrm{C} esses mols ocupam um volume muito maior e geram uma pressão grande no recipiente rígido.
  • Em provas, este tipo de questão normalmente pede que você reconheça conservação de mols, converta corretamente o volume molar e aplique a lei dos gases ideais; é comum que o volume do recipiente cancele quando o problema é dado em fração do volume, como aqui. Vai dando certo — respira e confia no passo a passo!

Resposta

p_f\approx 3{,}59\times 10^{7}\\ \text{Pa}\\ \approx 355\\ \text{atm}

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