Achar a equação do plano que passa pelos pontos A=(2,1,-1) e B=(0,3,-2) e é paralelo à reta \mathrm{x}=-\mathrm{y}=\mathrm{z}.
Passo 1
O enunciado pede a equação de um plano que passa pelos pontos A=(2,1,-1) e B=(0,3,-2) e é paralelo à reta dada por
x = -y = z.
O conteúdo que vamos usar é que a equação de um plano pode ser escrita como
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0,
onde \vec{n} é um vetor normal ao plano e \vec{r_0} é o vetor posição de um ponto do plano. Para encontrar \vec{n}, basta tomar dois vetores diretores do plano e calcular o produto vetorial.
Passo 2
Vamos achar dois vetores diretores do plano: um é \overrightarrow{AB} e o outro é o vetor diretor da reta.
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-2,\;3-1,\;-2-(-1)) = (-2,\;2,\;-1).
Da reta x=-y=z, introduzimos o parâmetro t tal que
x=t,\quad -y=t\;\Rightarrow\;y=-t,\quad z=t,
logo o vetor diretor da reta é
\vec{d} = (1,\,-1,\;1).
Passo 3
O vetor normal \vec{n} ao plano é dado pelo produto vetorial