Achar a equação do plano que passa pelos pontos A=(2,1,-1) e B=(0,3,-2) e é paralelo à reta \mathrm{x}=-\mathrm{y}=\mathrm{z}.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa pelos pontos A=(2,1,-1) e B=(0,3,-2) e é paralelo à reta dada por
x = -y = z.
O conteúdo que vamos usar é que a equação de um plano pode ser escrita como
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0,
onde \vec{n} é um vetor normal ao plano e \vec{r_0} é o vetor posição de um ponto do plano. Para encontrar \vec{n}, basta tomar dois vetores diretores do plano e calcular o produto vetorial.

Passo 2

Vamos achar dois vetores diretores do plano: um é \overrightarrow{AB} e o outro é o vetor diretor da reta.
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-2,\;3-1,\;-2-(-1)) = (-2,\;2,\;-1).
Da reta x=-y=z, introduzimos o parâmetro t tal que
x=t,\quad -y=t\;\Rightarrow\;y=-t,\quad z=t,
logo o vetor diretor da reta é
\vec{d} = (1,\,-1,\;1).

Passo 3

O vetor normal \vec{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 2 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot1 - (-1)\cdot(-1)) - \mathbf{j}((-2)\cdot1 - (-1)\cdot1) + \mathbf{k}((-2)\cdot(-1) - 2\cdot1).
Calculando cada componente:
\mathbf{i}(2-1) = \mathbf{i},\quad - \mathbf{j}(-2+1)=+\mathbf{j},\quad \mathbf{k}(2-2)=0\mathbf{k}.
Portanto
\vec{n} = (1,\;1,\;0).

Passo 4

Com \vec{n}=(1,1,0) e usando o ponto A=(2,1,-1), a equação do plano é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(2,1,-1)\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; 1\,(x-2)+1\,(y-1)+0\,(z+1)=0.
Isso simplifica para
x-2 + y-1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y - 3 = 0.

Resposta

A equação do plano é
x + y - 3 = 0.

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