(a) Achar uma raiz quadrada da matriz
B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma matriz X tal que
X^2 = B
onde a matriz dada é
B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Informações fornecidas e alvo: uma raiz quadrada de B (ou seja, qualquer matriz X que, multiplicada por ela mesma, dê B). Vou apresentar um método passo a passo que dá uma raiz bem natural e fácil de calcular.]

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): uma matriz X é raiz quadrada de B se X^2=B. Para matrizes simétricas e semidefinidas positivas (como B, que é simétrica e tem autovalores não negativos), o teorema espectral diz que existe uma decomposição ortogonal
B = Q D Q^{T},
onde Q é matriz ortonormal cujas colunas são autovetores unitários de B e D é diagonal com os autovalores de B. Nesse caso, uma raiz quadrada canônica (simétrica e semidefinida positiva) é dada por
\sqrt{B} = Q \sqrt{D}\, Q^{T},
onde \sqrt{D} é a diagonal com as raízes quadradas dos autovalores. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular autovalores e autovetores de B.
Característica:
\det(B-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2-1.
Portanto
(1-\lambda)^2-1=0\quad\Rightarrow\quad(1-\lambda)^2=1.
Isso dá
1-\lambda = \pm 1.
Assim os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=0.
Agora os autovetores:
  • Para \lambda_1=2, resolver (B-2I)v=0 v proporcional a \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_2=0, resolver Bv=0 v proporcional a \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Normalizando para obter vetores unitários (para Q ortonormal):
u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Formamos
Q=\begin{pmatrix}u_1 & u_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt]\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Construir \sqrt{D} e usar \sqrt{B}=Q\sqrt{D}Q^{T}.
\sqrt{D}=\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Então
\sqrt{B}=Q\sqrt{D}Q^{T}.
Uma observação prática que simplifica muito as contas: B é a matriz de todos uns, chamemos J=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}. Note que J tem posto 1 e satisfaz J^2=2J (porque cada entrada de J^2 é 1\cdot1+1\cdot1=2). Isso mostra que J é 2 vezes a projeção ortogonal P sobre a subespaço span \{(1,1)\}, com
P=\frac{1}{2}J.
Logo B=J=2P. Assim uma raiz natural é
\sqrt{B}=\sqrt{2}\,P=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}J=\frac{\sqrt{2}}{2}J.
Escrevendo em matriz:
\sqrt{B}=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação explícita (mostrar que ao quadrado dá B).
Defina
X=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}.
Calcule X^2:
X^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}^{2} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]2&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}=B,
pois \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]2&2\end{pmatrix}. Portanto X é de fato uma raiz quadrada de B.]

Passo 6

Comentário final e incentivo: a matriz encontrada é a raiz quadrada simétrica (e semidefinida positiva) de B. Existem outras raízes quadradas (não únicas) porque B é singular ( \lambda_2=0); no entanto a raiz construída por decomposição espectral é a raiz “principal” e a mais simples de usar em provas e na maioria dos exercícios. Está indo bem — tente reproduzir esses passos sozinho com outra matriz simples para ganhar fluidez!

Resposta

\sqrt{B}=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}]

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