O que o enunciado pede: encontrar uma matriz X tal que
X^2 = B
onde a matriz dada é
B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Informações fornecidas e alvo: uma raiz quadrada de B (ou seja, qualquer matriz X que, multiplicada por ela mesma, dê B). Vou apresentar um método passo a passo que dá uma raiz bem natural e fácil de calcular.]
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): uma matriz X é raiz quadrada de B se X^2=B. Para matrizes simétricas e semidefinidas positivas (como B, que é simétrica e tem autovalores não negativos), o teorema espectral diz que existe uma decomposição ortogonal
B = Q D Q^{T},
onde Q é matriz ortonormal cujas colunas são autovetores unitários de B e D é diagonal com os autovalores de B. Nesse caso, uma raiz quadrada canônica (simétrica e semidefinida positiva) é dada por
\sqrt{B} = Q \sqrt{D}\, Q^{T},
onde \sqrt{D} é a diagonal com as raízes quadradas dos autovalores. Vou aplicar isso passo a passo.
Uma observação prática que simplifica muito as contas: B é a matriz de todos uns, chamemos J=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}. Note que J tem posto 1 e satisfaz J^2=2J (porque cada entrada de J^2 é 1\cdot1+1\cdot1=2). Isso mostra que J é 2 vezes a projeção ortogonal P sobre a subespaço span\{(1,1)\}, com
pois \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]2&2\end{pmatrix}. Portanto X é de fato uma raiz quadrada de B.]
Passo 6
Comentário final e incentivo: a matriz encontrada é a raiz quadrada simétrica (e semidefinida positiva) de B. Existem outras raízes quadradas (não únicas) porque B é singular (\lambda_2=0); no entanto a raiz construída por decomposição espectral é a raiz “principal” e a mais simples de usar em provas e na maioria dos exercícios. Está indo bem — tente reproduzir esses passos sozinho com outra matriz simples para ganhar fluidez!