Achar a solução do problema de valor inicial proposto, aplicando transformada de Laplace.
(d) \boldsymbol{y}^{\prime \prime}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{\pi}}(\boldsymbol{t}) ; \quad \boldsymbol{y}(0)=1, \quad \boldsymbol{y}^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y''(t) + y(t) = u_{\pi}(t),\qquad y(0)=1,\;y'(0)=0,
onde u_{\pi}(t) é a função degrau unitário deslocada em t=\pi. Vamos usar a transformada de Laplace, que transforma derivadas em polinômios de s, resolver em s e depois inverter para t.

Passo 2

Aplique a transformada de Laplace em cada termo da equação. Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Temos
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s,
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s),
\mathcal{L}\{u_{\pi}(t)\}=\frac{e^{-\pi s}}{s}.

Passo 3

Substituindo na equação transformada, obtemos
s^2Y(s)-s + Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s} \;\;\Longrightarrow\;\;(s^2+1)Y(s)-s=\frac{e^{-\pi s}}{s} \;\;\Longrightarrow\;\; Y(s)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{e^{-\pi s}}{s\,(s^2+1)}.

Passo 4

Separe Y(s) em duas parcelas para inverter com mais clareza:
Y(s)=\underbrace{\frac{s}{s^2+1}}_{Y_1(s)} \;+\; \underbrace{\frac{e^{-\pi s}}{s\,(s^2+1)}}_{Y_2(s)}.

Passo 5

Inverta a primeira parcela usando tabela:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{s}{s^2+1}\Bigr\}=\cos t.

Passo 6

Para a segunda parcela, note que sem o fator e^{-\pi s} teríamos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s\,(s^2+1)}\Bigr\} =\int_{0}^{t}\!1\cdot\sin(\tau)\,d\tau =1-\cos t.
Pela propriedade do deslocamento,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{e^{-\pi s}}{s\,(s^2+1)}\Bigr\} =u(t-\pi)\bigl[1-\cos(t-\pi)\bigr].

Passo 7

Somando as inversas, a solução no tempo é
y(t)=\cos t + u(t-\pi)\bigl[\,1-\cos(t-\pi)\bigr].

Resposta

y(t)=\cos t + u(t-\pi)\bigl[1-\cos(t-\pi)\bigr].

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